Автор выражает большую благодарность оргкомитету международной конференции "Многомерный комплексный анализ" (август 2002, Красноярск) за возможность представить данный материал вне программы конференции в качестве стендового доклада. Благодарю также участников конференции, высказавших свои замечания и дополнения.
ОТ АВТОРА: Гипердействительные числа появляются в нестандартной модели анализа Абрахама Робинсона в результате расширения поля действительных чисел, если допускается нарушение аксиомы Евдокса-Архимеда. Иными словами, гипердействительные числа - это искусственно созданный абстрактный математический объект, а если так, то вопрос, вынесенный в заголовок данной статьи, звучит по крайней мере странно.
В связи с этим, следует пояснить о каком «существовании» я веду речь, и почему столь важны квантово-релятивистские характеристики объективного мира. Поэтому статья начнется с философского вступления, которое читатели не склонные к вопросам философии и методологии могут пропустить. После вступления материал статьи располагается так:
I. Обоснование логически необходимой связи между действительными и гипердействительными числами. Появление гипердействительных чисел в некоторых конкретных случаях. Предельный переход для расходящегося ряда: числа Фибоначчи и «золотая пропорция», гармонический ряд и число e. Сжатие функции Дирихле.
II. Нестандартное перемещение. Фрактальная траектория, движение с неопределенной скоростью - общие определения. Обратная скорость. Неархимедово сложение и скорость света.
III. Деструкция линейного континуума временного порядка, хронометрика. Понятие ареального множества и приложение его к анализу времени. Множество нормировок.
IV. Некоторые общетеоретические выводы. Многообразие геометрий и единственность эмпирического пространства.
Должен также отметить, что по мере изложения материала у читателей будут возникать мысли о переходе к смежным темам, таким как p-адический анализ, теория множеств, к техническим вопросам, связанным с математическим аппаратом современной физики и пр. Однако мы не будем заниматься этими проблемами - для экономии времени и места. В целом, данная статья является лишь тезисным изложением обширной темы, которую я именую «Нестандартный анализ неклассического движения». Выражаю надежду, что излагаемый подход позволит исследователям творчески развивать его, применительно к широкому кругу вопросов.
ФИЛОСОФСКОЕ ВСТУПЛЕНИЕ
Мы знаем, что физика как точная наука началась с основополагающего труда Исаака Ньютона «Математические начала натуральной философии», основополагающего не только для теоретической физики, но и для классического математического анализа. До сих пор в учебниках понятие производной объясняется учащимся на примере физических представлений о механическом перемещении материальной точки и мгновенной скорости. Однако в современной, неклассической физике ньютоновские представления о скорости и перемещении существенно модифицированы. В релятивистской физике не всякое отношение dx/dt допустимо - задан верхний предел скорости С, а в квантовой механике траектория движения частицы, где жестко связаны момент времени и координата, заменена квантово-волновыми представлениями с известным соотношением неопределенности Гейзенберга.
Таким образом, оказалась нарушенной определенная гармония между физическими и математическими представлениями, которая существовала в классической науке. Если бы в позапрошлом веке, кто-либо задал вопрос: «Существует ли во Вселенной дифференцируемые функции?», то определить смысл слова «существование» в такой формулировке вопроса не составило бы труда. Многие полагали, что «Бог говорит математическим языком» - математика раскрывает нам сущность Мироздания, даже если мы этого не понимаем. Интересна в этом смысле идея Гамильтона о том, что подобно тому, как геометрия является теорией пространства, алгебра по сути дела является теорией времени. Столь же примечательны попытки Гаусса и Лобачевского экспериментальным путем определить - является ли неевклидова геометрия адекватной реальности.
Сейчас господствует иная идеология: математика рассматривается как поставщик абстрактных конструкций для теоретического моделирования результатов физических наблюдений. Как выразился Бертран Рассел: «Математическая концепция дает абстрактную логическую схему, под которую можно подогнать подходящими манипуляциями эмпирический материал...» (Б.Рассел «Введение в математическую философию», М.: «Гнозис», 1996.с. 101). Теперь математика - это не язык Логоса, Объективного Духа, а символический язык науки для описания реальности. Сообразно этому, создаются все более и более абстрактные схемы, а математические концепции, используемые физиками-теоретиками, уходят все дальше и дальше от очевидной простоты, свойственной «математическим началам натуральной философии». Создается впечатление, что абстрактные объекты ныне выступают в роли допотопных слонов и черепах, с помощью которых древние «моделировали» Вселенную...
Еще с древнегреческих времен прослеживаются две линии: классическая философия, озабоченная поисками ИСТИНЫ, и софистика, занятая выработкой внутренне логичных схем для доказательства всего, чего угодно. В настоящее время этот последний - идеологический подход - доминирует [см. об этом в книге Н.М. Чуринова "Совершенство и свобода" (Изд-во Красноярской аэрокосмической академии, 2001) в главе "Два проекта науки".]. Полагают, что любое внутренне непротиворечивое, абстрактное математическое построение можно попробовать применить в физике. Именно поэтому расхождение неклассических представлений о механическом движении и исходных оснований классического анализа не считается серьезной проблемой. Что за беда! - для моделирования есть математические аппараты иного типа, и для каждого случая найдется более-менее приемлемая интерпретация.
Может ли такое положение дел рассматриваться как единственно возможный вариант познания, а оправдывающая его идеология – как единственно правильная? Мой ответ - отрицательный. Более того, есть основания полагать, что этот вердикт не просто мнение философа-идеалиста, а отражение определенных интенций, свойственных многим. Приведу две цитаты.
Ричард Фейнман в своей книге «Характер физических законов» пишет: «Теория, согласно которой пространство непрерывно, мне кажется неверной, потому что она приводит к бесконечно большим величинам и другим трудностям. Кроме того, она не дает ответа на вопрос о том, чем определяются размеры всех частиц. Я сильно подозреваю, что простые представления геометрии, распространенные на очень маленькие участки пространства, неверны. Говоря это, я, конечно, всего лишь пробиваю брешь в общем здании физики, ничего не говоря о том, как ее заделать.» (Richard Feynman, The Character of Physical Law. Русский перевод: Р.Фейнман. Характер физических законов. М.: Мир, 1968, стр. 184).
А вот какое примечательное суждение высказано в известной книге Д.Гильберта и П.Бернайса: «На самом деле мы вовсе не обязаны считать, что математическое пространственно-временное представление о движении является физически осмысленным также и в случаях произвольно малых пространственных и временных интервалов. Более того, у нас имеются все основания предполагать, что, стремясь иметь дело с достаточно простыми понятиями, эта математическая модель экстраполирует факты, взятые из определенной области опыта, а именно из области движений в пределах того порядка величин, который еще доступен нашему наблюдению... Подобно тому, как при неограниченном пространственном дроблении вода перестает быть водой, при неограниченном дроблении движения также возникает нечто такое, что едва ли может быть охарактеризовано как движение» (Гильберт Д., Барнайс П., «Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики», М., «Наука», 1979, с. 41, первое издание книги - 1934 г.).
Прошу прощения за столь обширное цитирование, оно понадобилось, чтобы обосновать основные предпосылки важной проблемы:
1. Существует принципиальное расхождение между современными физическими представлениями о движении и классическими понятиями анализа.
2. Возможно построение «математической модели», которая подойдет для описания микро-движения в пределах «недоступного наблюдению порядка величин».
Однако на самом деле речь надо вести не о МОДЕЛИ, и не о ПОСТРОЕНИИ. Задача в том, чтобы внутри самой логики классической математики найти основания для дальнейшего развития теории.
Сейчас принята идеология, которую можно назвать модельным конструктивизмом, но реальное развитие науки идет иначе - я бы назвал этот путь ЛОГОГЕНЕЗОМ. То есть новые сущности «не измышляются», а в естественной логике теории отыскиваются основания – «гены», способные развиться в полноценную математическую науку, претендующую на ИСТИННОСТЬ. Если принять этот философский подход, то следует согласиться с Фейнманом - классический анализ НЕ СООТВЕТСТВУЕТ РЕАЛЬНОСТИ, но не потому, что он ошибочен, а потому, что в его логике пока не выявлены логические возможности, позволяющие привести математическую теорию в соответствие с физическими представлениями. Вводя квант действия h, Макс Планк трагически переживал, что приходится модифицировать формулы со ссылками на эксперимент. Может быть, его переживания были небеспочвенны, и квантование можно вывести теоретически - исходя из логических оснований, пока еще скрытых и не выявленных? Я полагаю, что дело обстоит именно так.
Однако было бы слишком опрометчиво заявлять, что нужную теоретическую модель дает нам, упомянутый в начале статьи, нестандартный анализ, а гипердействительные числа - как раз тот абстрактный объект, который позволит моделировать квантово-механическую дискретность. Рассуждая так, мы остаемся в рамках модельного конструктивизма. Неархимедов анализ в его современном виде - это искусственная модель, основанная на прямом отрицании аксиомы Евдокса-Архимеда, и нет пока никаких серьезных причин расширять поле действительных чисел. В самом деле: что это за числа такие, сколь угодно большая сумма которых не может превзойти единицу, а обратные им оказываются за знаком бесконечности? Их введение - это произвольное допущение, а модель анализа, сконструированная на их основе, - остается экзотическим построением, не имеющим отношения ни к эмпирической реальности, ни к теоретической физике.
Правда, в последнем случае, мы можем обнаружить некоторые интересные особенности.
В теории относительности Альберта Эйнштейна, как известно, используется релятивистское правило сложения скоростей, когда прибавление единиц не приводит к бесконечному возрастанию суммы - она ограничена верхним пределом скорости света. Однако и в этом случае суть дела не в нарушении аксиомы Евдокса-Архимеда, а в особенностях преобразований Лоренца, действенных для псевдоевклидова континуума пространства-времени. Разумеется, можно допустить, что аналогичное правило сложения может работать и для простых величин, типа длин или временных отрезков, но, опять-таки, совершенно не ясно почему мы должны ограничивать бесконечное пространство неким заданным радиусом, к которому будет стремиться сумма складываемых единичных длин. Закон перспективы существует, но ведь мы понимаем, что уменьшение размеров с расстоянием – это зрительная иллюзия, а не свойство пространственной метрики.
Теперь обратимся к квантовой механике. Известно, что так называемая «ультрафиолетовая катастрофа» была прямым следствием из формул классического математического анализа - для равновесного излучения в области высоких частот получались бесконечные значения энергии. Однако выход был найден не в модификации математических принципов, а в осмыслении экспериментальных данных: гипотеза Макса Планка положила предел бесконечному дроблению энергии - E=hv оказался неделимым. И сейчас классические формулы анализа продолжают использоваться, а все мешающие бесконечности современные физики-теоретики научились, как выразился Ричард Фейнман, - «заметать под ковер».
Таким образом, теоретическую ситуацию можно охарактеризовать так. С одной стороны, классический анализ оказался недостаточен для физики, хотя его исходные представления выглядят интуитивно очевидными и столь естественными. С другой стороны, нестандартный анализ кажется для физики подходящим: актуально бесконечно малые как бы «квантуют» континуум в микромасштабах, а гипердействительность (выражение Мартина Девиса из его книги «Прикладной нестандартный анализ») разбивается на «микромир», мир «действительных масштабов» и мир «космической» бесконечности. Однако неархимедов анализ - это все-таки искусственное построение, эта «неархимедовость» противоречит бесконечной делимости и классическому понятию предела. Таким образом, единственным выходом может быть только логическое соединение нестандартной модели анализа с анализом классическим, обнаружение их необходимой связи, если угодно, - их дополнительности. Появление иррациональных чисел не отменило числа рациональные, точно также введение гипердействительных чисел должно быть не декларативным модельным построением, а естественным выведением их из логики классического анализа. Я собираюсь показать, что такая постановка задачи правомерна.
I. АКТУАЛЬНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ В СОБСТВЕННОМ СМЫСЛЕ СЛОВА
«Анализ - это исчисление бесконечно малых, а основное понятие анализа - понятие действительного числа», - данное утверждение в книге Гильберта и Бернайса дополняется уточнением, - «Понятие бесконечно большого и бесконечно малого теорией действительных чисел в собственном смысле слова из рассмотрения исключаются». (Ук. изд., гл. 2, п. 4 «Нефинитные методы в анализе», стр. 64-65).
Нестандартный анализ, наоборот, включает в рассмотрение бесконечно малые и бесконечно большие в собственном смысле слова, отсюда и возникает представление о гипердействительных числах. Поэтому, если в микромасштабе при неограниченном дроблении мы в самом деле рассчитываем получить разрыв непрерывности континуума (как ожидал Р.Фейнман) и открыть «нечто такое, что едва ли может быть охарактеризовано как движение» (как предсказывали Д.Гильберт и П.Бернайс), то это должно быть связано с бесконечно малым масштабом - с чем-то вполне актуальным. Однако Георг Кантор в «Учении о множествах» специально оговаривал неуместность таких представлений. Он риторически спрашивал: «Нельзя ли продолжить числа не только в область бесконечно больших, но и в область бесконечно малых?» И эмоционально возражал: такие попытки - «насильственны», у них «шаткий фундамент», они, вообще, «беспочвенны» и пр. (Г.Кантор. Учение о множествах. Русское издание – в кн. «Новые идеи в математике», сб. 6, СПб, 1914, стр. 15.)
Кантор сформулировал прямой запрет: «Не существует отличных от нуля линейных числовых величин (числовых величин, представимых в образе ограниченных непрерывных прямолинейных отрезков), которые были бы меньше сколь угодно малой конечной числовой величины, то есть такие величины противоречат понятию линейной числовой величины» (Г.Кантор. Труды по теории множеств, М.: «Наука», 1985, стр. 294). Доказательство этого положения у Кантора основано на аксиоме Евдокса-Архимеда и его убежденности в «противоестественности» любых попыток введения актуально бесконечно малых (по его мнению - такие построения «остаются только на бумаге»).
Но на этой же странице Кантор сопоставляет свою теорию трансфинитов с гипотезой бесконечно больших и бесконечно малых чисел, высказанной в свое время Фонтенелем, и отмечает: «Нельзя сказать, что растущие конечные числа приближаются сколь угодно близко к w, скорее всякое сколь угодно большое число n остается столь же далеким от w, как и наименьше число. Мое наименьшее трансфинитное число w, и, следовательно, все большие порядковые числа ВСЕЦЕЛО расположены ВНЕ бесконечного числового ряда 1, 2, 3, ... Несчастной ошибкой Фонтенеля было то, что он искал трансфинитное ВНУТРИ числового ряда 1, 2, 3, ... n ... , хотя некоторым образом в конце его (между тем как такового не существует). После того как он ввел таким образом наперед неразрешимое противоречие в свои бесконечные числа, судьба его бесплодной теории была решена. Но если критики, соблазненные крушением фонтенелевских бесконечных чисел, думают вынести приговор актуально бесконечным числам вообще, они ОПРОВЕРГНУТЫ фактом моей радикально отличной от фонтенелевской и вполне непротиворечивой теории». (Ук. изд., стр. 294).
Критикуя Фонтенеля за поиски бесконечно больших чисел ВНУТРИ расходящегося числового ряда, Кантор сам помещает актуально бесконечно малые «в конец» сходящегося ряда и успешно доказывает, что их там нет. Но ведь актуально бесконечно малые могут быть помещены ВНЕ числового ряда действительных чисел, и тогда приговор Кантора окажется несостоятельным. Характерно, что в примечаниях к цитируемому сборнику его трудов редактор Колмогоров А.Н. пишет: «Возможно, небезынтересно было бы прочесть книгу Фонтенеля с точки зрения нестандартного анализа» (Ук. изд. стр. 408).
Однако следует сделать одно существенное уточнение. В уже упомянутой книге Мартина Девиса «Прикладной нестандартный анализ» (Martin Davis, Applied Nonstsndard Analysis, N.Y., 1977) гипердействительные числа трактуются в качестве ИДЕАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ - типа бесконечно удаленных точек в проективной геометрии, то есть акцентируется искусственность их появления в математике. Правда, сам создатель нестандартного анализа Абрахом Робинсон придерживался на этот счет иного мнения, а если вспомнить известный афоризм Л.Кронекера, мол, натуральные числа придумал Творец, а все остальное - дело человеческих рук, то вопрос об искусственности и естественности оказывается вопросом вкуса и идеологической ориентации. В принципе, единственным критерием остается способность данного подхода необходимым образом войти в систему науки. Канторовы трансфиниты открыли перед нами обширную область приложения творческих усилий, дают ли такую же возможность гипердействительные числа?
Давайте посмотрим, на какой идейный базис опирается традиционное представление о бесконечном делении непрерывного континуума.
Вот деление единичного отрезка пополам, обычный сходящийся ряд 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..., который в сумме образует единицу. Мы видим как точки деления «сгущаются» у начала отрезка – у точки 0, которая остается недостижимой, поскольку любую точку деления от нуля всегда отделяет отрезок значимой длины.
Рис. 1
Операция деления пополам является одновременно операцией удвоения, то есть исходный единичный отрезок - это такой же отрезок, как и любая его часть, и полная картина получается только, если мы продолжим ряд отрезков в сторону их увеличения: ... 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, ...
Рис. 2
При этом Ґ оказывается также недостижимой, как и 0. Правда, 0 «у нас перед глазами», а Ґ «находится» где-то далеко-далеко за краем экрана дисплея.
То, что единица задает нам меру, относительно которой происходит увеличение или уменьшение – понятно. Сдвиг этой меры не меняет отношение соседних величин, но именно возможность этого сдвига определяет бесконечность деления: любой, сколь угодно малый, оставшийся до 0, отрезок, может полагаться единичным. Точка 0 «у нас перед глазами» потому, что она является концом выбранного единичного отрезка, в отличие от «точки бесконечности», которая концом не является просто по определению. Однако насколько правомерно понимание точки 0 в качестве КОНЦА? Ясно, что это определение связано с выделением ОТРЕЗКА, но ведь его деление - это одно, а построение последовательности отрезков - иное. Откладывая увеличивающиеся отрезки вправо, мы никогда не достигаем «точки» бесконечности (эту точку «поставил» Георг Кантор, когда сделал бесконечность актуальной). Точно также, откладывая влево уменьшающиеся, мы не сможем завершить построение в какой бы то ни было точке. Это вроде бы нас не должно смущать, ведь точка 0 уже задана на прямой и для данного построения задан предел. Однако построение на прямой – это расположение точек в определенной последовательности, дело существенно меняется, когда ПОСТРОЕНИЕ становится реальным.
Допустим, отрезок 1/2 строится как перпендикуляр к единичному, а 1/4 – как перпендикуляр к 1/2 и т.п.
Рис. 3
В этой закручивающейся улитке тоже пока нет ничего примечательного, мы можем построить ряды дающие координаты точки, в которую должен попасть конец ломанной. Но вот вопрос: с какой стороны в эту точку попадает эта ломанная - «сверху», «снизу», «справа», «слева»? Ведь данное построение задает, в отличие от традиционного, сразу 4 направления. Вопрос не бессмысленный. Если, скажем, по обычной прямой происходит равномерное движение точки, которая последовательно проходит половину расстояния, затем четверть и т.п., то как мы должны трактовать такое равномерное движение в случае прямоугольной спирали? Если мы предположим, что по этой ломанной движется точка, проходя за одинаковые промежутки времени равные отрезки, то ее попадание в центр «улитки» оказывается таким, что нельзя указать направление вектора ее скорости в этой точке. Может показаться, что здесь нет ничего странного - ведь и в любой точке излома траектории у движущейся точки появляются два взаимоперпендикулярных вектора скорости, но ведь точка предела - не может быть точкой излома! Чтобы сказанное стало более ясным, вообразим, что улитка состоит не только из отрезка траектории от 1 до 0, но также и ее продолжения от 0 до -1:
Рис. 4
Точка 0 оказывается таким «местом» изломанной траектории, где направление вектора ее движения становится неопределенным, а ее движение в этой точке, в самом деле, уже трудно «охарактеризовать как движение». При этом, мы ни на одном из этапов не попадаем в какую-либо область «микромасштабов», сложности появляются только в точке 0. Можем ли мы сказать, что такая особенность присуща точке 0 и в том случае, когда движение задано по прямой, а не по ломанной? Нет, до тех пор, пока само это движение связывается с движением по отрезку. Но, если мы начинаем вести речь о мгновенной скорости, о скорости в точке - вопросы появляются снова. Фактически, возникает проблема: с какой стороны мы должны стягивать отрезок, устремляемый к 0, - как должно выглядеть в данном случае отношение дифференциалов?
И опять может показаться, что проблемы нет: ведь если точка по прямой движется от 1 к -1 через 0, то заключая от общего к частному, мы должны придти к выводу, что и в любой точке траектории (и в 0) направление ее движения остается таким же. Ведь, если предположить, что в 0 направление ее движения неопределенно, то, заключая от частного к общему, придется говорить о неопределенности направления ее движения в целом по отрезку, а это противоречит заданному вектору скорости. Однако правомерна ли такая логика в нефинитном рассуждении?
Проблема становится еще острее, когда в положении недифференцируемого 0 оказываются все точки траектории. Рассмотрим фигуру Ван-дер-Вардена, получаемую из равностороннего треугольника, когда каждая сторона его делится на три части, к которым добавляется еще одна, образуя на каждой из сторон новый треугольник.
Рис. 5
Как известно, в пределе мы получаем фигуру, в каждой точке которой «имеется излом», а общая длина этой бесконечно изломанной линии стремится к бесконечной величине 3Ч (4/3)n при n стремящейся к ¥. Когда мы задаем движение точки по единичному отрезку, нас не смущает, что он является частью бесконечной прямой, можем ли мы и в случае фигуры Ван-дер-Вардена говорить о движении точки по такой траектории? Все точки «у нас перед глазами», однако парадокс в том, что между любыми двумя (даже сколь угодно близкими) лежит расстояние бесконечно большое. «Выпрямим» ломанную между двумя такими точками - это станет очевидным. А если считать фигуру Ван-дер-Вардена актуально заданной со всеми ее изгибами, то выпрямление ее даст «в пределе» бесконечно большой треугольник. Попробуем в обратную сторону: можно заданный треугольник с единичными сторонами превратить в бесконечно изломанную фигуру, если делить его стороны не на 3 части, а на 4, складывая две центральные как стороны треугольника.
В итоге мы получим фигуру:
*
Рис. 6
где звездочка - это бесконечно ломанная конечной длины, «втиснутая» в область нулевого размера.
Если существует точка, которая преодолевает обычный отрезок (единичную сторону треугольника) за конечное время, то она как-то должна двигаться и по траектории Ван-дер-Вардена, возникающей на основе так сжатого треугольника. О том, каково направление движения точки, преодолевающей такое конечное расстояние за конечное время, предоставляю судить читателям. Может быть, так двигающаяся точка находится вообще в состоянии покоя, коль скоро она не удаляется от своего места ни на какое расстояние, выражаемое действительным числом? А может быть и стандартный единичный треугольник НА САМОМ ДЕЛЕ не столь прост, как обычно считается?
Есть детский парадокс, когда «доказывается», что 2 = 1, так как сумма двух сторон треугольника равна третьей. Эти две стороны начинают «ломать» (при этом сумма сторон, составляющих ломанную, не меняется), и утверждают, что «в пределе» получается ломанная совпадающая с основанием треугольника.
Рис. 7
Этот парадокс, как известно, мнимый, но его можно сделать и более серьезным. Предположим, что мы «выпрямили» эту бесконечную ломаную заданной конечной длины, но ведь нам ничто не мешает сказать, что полученные две стороны треугольника сами суть такие же ломанные, которые можно «распрямить», образовав на сторонах этого треугольника еще два. И так далее.
Рис. 8
Иными словами, отрезок прямой, образующий единичное основание треугольника будет приравнен не к длине = 2, а к длине = 2n, где n устремлено к бесконечности. Фактически мы проделываем следующую операцию: утверждаем, что вплотную к единичному основанию треугольника располагается бесконечный ряд микротреугольников, которые можно последовательно «распрямлять», выкладывая странную линию бесконечной длины.
Если дробя отрезки мы пытались нащупать область, где располагаются актуально бесконечно малые величины, то в последних случаях у нас появились бесконечно большие числа - (4/3)n и 2n выражающие бесконечно большое число единичных длин при n устремленном к ¥. Обычно считается, что основание степени не играет особой роли, коль скоро степень устремляется ко все большим и большим порядкам (см. например, эссе Дж.Литлвуда «Большие числа» в кн. J.E.Litlewood. A Mathematiclan`s Miscellany, London, 1957. - Правда, английский математик, приравнивая «большие числа», все-таки берет слово «равенство» в кавычки. - Русское издание: Дж.Литлвуд. Математическая смесь, М.: «Наука», 1978, стр. 108). На самом деле наши оценки определяются тем, что сравнение бесконечных длин немыслимо. Попробуем сделать построение, в котором бесконечная длина оказывается «перед глазами».
Если бесконечная десятичная дробь (для простоты возьмем дробь периодическую) 1,11111111.... представляет собой сходящийся ряд 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ..., то расходящийся ряд 1 + 10 + 100 + 1000 + ... можно условно записать в виде числа 111111..., где первая цифра означает число единиц, вторая - число десятков и т.п. Можно построить «бесконечное дерево», граф, длина которого равна этому числу. От единичного отрезка отходит 20 ветвей с длиной в 1/2, сумма которых дает длину 10, от каждой веточки отходит еще по 20 отростков с длинами 1/4 и т.п. Если некий жучок будет ползти все время вверх, то за конечное время он приползет на верхушку, поскольку его путь 1 + (1/2 + 1/4 + 1/8 + ...) = 2. Каково число жучков, сидящих на «кончиках» этой «ведьминой метелки»?
Рис. 9
Создается впечатление, что для гипердействительных чисел реально имеются некие «экологические ниши». Можно ли каким-то образом «прозондировать» эти «заколдованные места»? Что происходит в области нуля, куда бесконечно делящиеся действительные величины попасть не могут? И что может происходить с числами в трансфинитной области, куда не может попасть ни одно, сколь угодно большое действительное число?
Если мы на числовой прямой будем отмечать точки, соответствующие ряду Фибоначчи, где каждое последующее является суммой двух предыдущих (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ...), то в пределе - при устремлении в область все больших и больших чисел - отношение двух последних чисел Фибоначчии, как известно, дает j -. знаменитое иррациональное число 1,61803... Оно задает «золотую пропорцию» – сечение отрезка, при котором меньшая часть относится к большей, как большая к их общей длине. Можно заявить, что двигаясь вдоль числовой прямой, “шагая” числами Фибоначчи, мы обнаружим в трансфинитной области актуально бесконечно большие «отрезки», отношение между которыми выражается конечным иррациональным числом j.
И наоборот, можно в действительной области построить ряд отрезков, соответствующих «золотому сечению»:
Рис. 10
Поскольку отношение большего отрезка к соседнему меньшему = 1,61903..., их общая длина в левую сторону прямой будет иметь вполне определенную предельную точку окончания. В ее окрестности и будут «скучиваться» уменьшающиеся отрезки, которые - в полном соответствии с бесконечной делимостью непрерывного континуума - никогда не перестанут делиться. В этом построении предельная точка никогда и не будет достигнута, однако можно утверждать, что в этой бесконечно малой окрестности возле предельной точки происходит удивительная вещь: вместо непрерывного континуума образуются ЧИСЛА, которые будут идти к предельной точке как уменьшающиеся числа Фибоначчи. А поскольку ряд Фибоначчи начинается 1, 1, 2, 3 ... , то эти числа (и соответствующие им актуально бесконечно малые гипердействительные длины) благополучно придут в точку предела.
Здесь можно было бы пока поставить точку, но хочется наметить некоторые пути развития предлагаемого подхода. Например, интересно представить – как будет выглядеть функция Дирихле, если ее единичное значение будет устремлено к нулю и перейдет в гипердействительную область актуально бесконечно малых?
К интересным результатам приводит и рассмотрение под этим углом зрения гармонического ряда целых чисел 1, 2, 3, 4, 5, ... Очевидным образом, в бесконечно большом пределе образуется отношение бесконечно больших N+1/N, а в трансфинитной области эти числа переходят в отношение актуально бесконечных отрезков равной длины. Казалось бы, здесь перевернуть операцию невозможно: в действительной области ряд единичных длин не дает нам предельную точку, возле которой в гипердействительной окрестности выстроится гармонический ряд чисел. К счастью, тут обнаруживается свойство иного рода. Хотя мы и «не видим» область, где находятся актуально бесконечно малые длины, образующие гармонический ряд чисел, но мы видим бесконечную прямую на которой отложены равные единичные отрезки и можем, начиная с любого рассмотреть бесконечную полупрямую. На ней соседние отрезки относятся друг к другу как N+1/N, где N - бесконечно большое число, выражающее сумму актуально малых длин. То есть образуется геометрическая прогрессия с множителем (1 + 1/N), и если длина первого отрезка нами принята за единицу, то происходит нарастание длин таким образом, что длина «последнего единичного отрезка» на этой бесконечной полупрямой оказывается (1 + 1/N)N. Не трудно заметить, что эта длина – иррациональное число e.
Попробуем интерпретировать данный результат.
Допустим, из начала координат вылетает бесконечное число точек, скорость первой - единица, а расстояния, проходимые ими за единицу времени, последовательно отличаются друг от друга на актуально бесконечно малые единичные величины. И на каком же отрезке расположатся эти точки через единичный период времени?
Поставив это вопрос, я сделал одно упущение: не сказал, что всем векторам скорости надо задать одно общее направление - вдоль прямой. Но можно ли это единое направление действительно задать?
II. ДВИЖЕНИЕ С НЕОПРЕДЕЛЕННОЙ СКОРОСТЬЮ.
В изложенных только что построениях ДВИЖЕНИЕ - перемещение точки по траектории с некоторой скоростью - играло по большей мере вспомогательную, иллюстративную роль. Теперь мы попробуем осмыслить ДВИЖЕНИЕ по существу.
Механика начинается с понятия равномерной постоянной скорости, но для постоянной скорости устремление соотносимых интервалов расстояния и времени к бесконечно малому теряет смысл - все интервалы подобны. И хотя мы устремляем к нулю интервалы Х и Т, всегда подразумевается, что имеются две точки и два момента времени, переход между которыми непрерывен. Математически все конечные отрезки прямой равноправны, чем же мотивировано представление о «бесконечной малости»? Ведь не можем же мы определять «бесконечно малое приращение» относительно каких-либо своих, человеческих масштабов! Тем не менее, это настолько хорошо увязывается с обыденной практикой, что и сомнений не вызывает. Однако можно перевернуть логическую связку, сказав, что именно обыденная практика предопределила математическую концепцию, с помощью которой она моделируется.
Разумеется, можно развести реальное движение и его математическую модель, но поставив под сомнение адекватность последней, надо, по крайней мере, предложить иной способ теоретического моделирования. И при этом, все-таки, придется исходить из тех же самых элементарных предпосылок: любые виды механического движения суть перемещения точки в пространстве (она, грубо говоря, в разные моменты времени находится в разных местах), точки нахождения всегда разделены неким расстоянием, а моменты нахождений задают интервалы времени. Самое интересное, что эти же исходные предпосылки позволяют сформировать совершенно иное представление о движении, противоположное традиционному.
Итак, даны две точки пространства Ха и Хв, в которых материальная точка находится в два разных момента времени Та и Тв. Эти два, будем говорить - «нахождения», позволяют ввести отношение отрезка расстояния и интервала времени, которое нами именуется «скорость». Если мы остаемся в рамках первого закона Ньютона-Галилея, то движение равномерно и прямолинейно. Значит для заданной постоянной скорости все такие отрезки между «нахождениями» - строго подобны. Тем не менее, мы считаем нужным ввести понятие мгновенной скорости, устремляя интервалы к нулю, где в пределе каким-то странным образом появляются «бесконечно малые». Здесь неявно присутствуют и отождествляются два умозаключения:
1. Если скорость постоянна на всем интервале - она присуща материальной точке в любой точечный момент времени, в любой точке траектории.
2. Если в любой момент в любой точке пути скорость одна и та же, она присуща материальной точке и в течение всего времени движения по всей траектории.
Очевидно, эти утверждения обосновывают друг друга, образуя логический круг.
Здесь можно было бы вспомнить апорию Зенона «Стрела». Древнегреческий философ хотел заострить внимание теоретиков на парадоксальности движения-перемещения: если для определения скорости надо обязательно иметь в виду ДВА местоположения и ДВА момента времени, то каким образом мы заключаем о наличии скорости в один - данный - момент, в данном месте? Понятно, что введением мгновенной скорости мы скрыли эту парадоксальность. Однако, если dx и dt «очень малы» они тем не менее остаются «отрезками» и «интервалами». «Стремиться к точке» - не значит «пребывать в точке».
Считается, что еще аристотелевская физика преодолела Зеноновский парадокс. Ясно ведь, что философ ошибался, когда утверждал, что в мгновение в точке «движенья нет». Мы приняли, что, если движение есть ВООБЩЕ (на множестве мгновений и мест), то оно есть и В ЧАСТНОСТИ - в каждое отдельное мгновение. Понятное дело: если есть движение - значит есть скорость, раз уж движение есть вообще, оно есть и в частности, и значит мы обязаны приписать точке скорость в каждом мгновении, в каждом месте. Иного, кажется, просто не может быть.
Сейчас мы рассмотрим модель движения, где эти логические обязательства с нас снимаются. То есть - в каждое мгновение, в каждой точке ДВИЖЕНИЕ ЕСТЬ, а СКОРОСТИ НЕТ.
Пусть скорость - это отношение отрезка (Ха, Хв) и интервала времени (Та ,Тв).
Рис. 11
Зафиксировав это отношение, возьмем мгновение времени Тс , находящееся между Та и Тв. В этот момент точка находилась в некоем Хс, и, соответственно, мы получаем уже два новых отрезка, два новых интервала. Говоря о постоянстве скорости, мы неявно предполагаем, что отношения новых отрезков и интервалов дадут нам то же самое значение скоростей. Мы делаем логический выбор: ведь есть два варианта - либо Vав = Vас = Vсв, либо они не равны. Казалось бы, выбор этот предопределен. Действительно, если мы уже задали скорость Vав, она предполагает наличие этой скорости и в точке А и в точке В, а если Vас не равна Vсв, то и значения скоростей в точках А и В получаются иными - в противоречие уже найденному первоначально значению. Но мы введем следующее абсолютное правило: независимо от того, каким было исходное отношение, «новые» скорости (Хс,Хв)/(Т,,Та) и (Хв,Хс)/(Тв,Тс) в общем случае могут быть ЛЮБЫМИ.
Иными словами, мы декларируем, что всякий раз получаются новые значения отношения DХij/ DТij, которые в общем случае не обязательно соответствуют предыдущим и не обязательно связаны с ними какой-то закономерностью. Это правило должно быть справедливым для всякого «сколь угодно малого» дробления исходного интервала времени. И естественно, в общем случае, соответствующие точки нахождения в пространстве могут и не лежать на одной прямой, хотя всякий раз они будут задавать конечные отрезки расстояний. В свою очередь, частным случаем ТАК определенного движения будет стандартное равномерное движение по прямой с неизменной скоростью (если «любые», то, возможно, и «равные» при равенстве соответствующих интервалов времени).
Выбрав точку и мгновение Хс, и Тс, мы не исчерпали точки пространства и мгновения времени. Если продолжить выбор мгновений времени мы будем получать от точки к точке иные значения скоростей и можно предположить, что все они дадут нам значения скорости не равные друг другу. Иными словами, для исходной позиции Ха, и Та (и в конечной позиции Хв и Тв) мы будем получать все новые и новые значения скорости. То есть значение скорости «в точке в данное мгновение» - в общем случае надо считать НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ.
Таким образом, для любых двух моментов времени имеются два нахождения точки в пространстве, чем и задается значение скорости ИМЕННО ДЛЯ ЭТИХ ДВУХ МОМЕНТОВ. Но при этом любое нахождение точки, соответствующее моменту времени, находящемуся между двумя первоначально выбранными, позволяет найти уже иные отношения интервалов пути и времени. В целом - для каждого одиночного момента времени имеется вполне определенные координаты нахождения и совершенно неопределенная скорость (определенность появляется, если и только если мы выбираем еще один момент-нахождение). Разумеется, все варианты неравномерного движения также оказываются частными случаями движения с неопределенной скоростью.
В только что изложенном построении нет ничего противоестественного, чуждого исходным предпосылкам понимания механического движения-перемещения и принципам его теоретического воспроизведения, а если такой подход логически допустим, то мы не имеем права им пренебрегать, его не рассматривать. А самое-самое главное: этот логический вариант является более ОБЩИМ, ведь «равенство» величин - это частный случай всех возможных их взаимоотношений. Поэтому наша модель априори более общая, поскольку охватывает стандартное представление о скорости.
Не спорю, такая нестандартная модель движения материальной точки в пространстве чрезвычайно экзотична, более того, предлагаемый вариант полностью противоположен классическому: при стандартном подходе постоянная скорость берется за основу и уже из нее конструируются любые частные случаи неравномерных движений - с ускорением, с искривленными траекториями. У нас все наоборот: за основу берется модель, которую можно охарактеризовать как некое абсолютно неравномерное движение, лишь в отдельных случаях совпадающее с равномерным, равноускоренным и пр.
Главная черта данной модели движения: ни в одной точке нет определенной скорости. Эта неопределенность заложена в модель: между сколь угодно близкими моментами времени всегда найдется мгновение, которому соответствуют новые нахождение точки в пространстве с новыми значениями скорости.
Такая последовательность операций определения значений скорости принципиально бесконечна, ни о каком стандартном дифференцировании, ни о какой мгновенной скорости тут речи быть не может. Траектория движения здесь подобна математической фрактальной кривой, хаотически изгибающейся на любом, сколь угодно малом своем участке. (А так называемая “прямая” оказывается частным случаем фрактального построения.) В каждый момент материальная точка находится в определенном месте, все нахождения лежат на определенной (фрактальной) траектории. Хаотически разбросанные нахождения - суть точки, из которых «собирается» такая по-своему все-таки непрерывная траектория. Пусть - в частном случае - это может быть прямая с постоянным значением всех возможных («любых») скоростей, но тогда - это прямая принципиально иного типа: для нее операция дифференцирования, приводящая к мгновенной скорости теряет смысл просто потому, что траектория движения и время движения изначально заданы поточечно - совершенно разрывно, прерывно, дискретно. Такое движение абсолютно дробно, но оно дробится на бесконечное множество отрезков Х и интервалов Т не потому, что непрерывный отрезок прямой делим до бесконечности, а потому, что точки деления сами его и образуют.
Так становится очевидной и причина альтернативности нашего построения: традиционное понимание основано на понятии отрезка (который и задает точки его ограничивающие), а наше, нетрадиционное понимание, наоборот, основывается на точках и моментах нахождений, любая пара которых задает отрезки-интервалы, обнаруживаемые между ними. Общим для обоих альтернативных вариантов остается то, что последовательность прохождения точек (нахождений в пространстве) сообразна последовательности мгновений времени, которые им соответствуют.
Замечу, что в предложенной модели движения материальной точки элементарное понятие скорости не исчезает - скорость номинально определима для любых интервалов Х и Т, однако невозможно приписать это значение скорости отдельным точкам-моментам, образующим эти интервалы. Таким образом, понятие скорости необходимо для нашей модели, но становится лишь элементом описания процесса, перестает быть его прямым отображением.
Я отдаю себе отчет, насколько необычной кажется предложенная модель движения, но хочу еще раз подчеркнуть: она сконструирована из тех же основополагающих представлений, что и традиционная (точки нахождения в пространстве, моменты времени и пр.). Она является логически альтернативой последней, и как таковая теоретически с ней равноправна. Пока мы не касаемся ее физического смысла, ее эмпирической адекватности, не ведем разговора об уравнениях движения, о квантованности-дискретности или о соотношениях неопределенности. Подобно тому, как классическая динамика интерпретирует различные варианты движения, а стандартный математический анализ позволяет их описать, введенное только что движение с неопределенной скоростью также потребует потом введения неких динамических характеристик. Пусть точки-нахождения хаотически, поточечно разбросаны по пространству - будто рассыпавшиеся бусы, но все-таки должна быть ниточка, которая их свяжет!
Как читатель уже почувствовал, главное затруднение на предлагаемом пути - это идеология классического математического анализа. Получается, что его мощный, хорошо разработанный аппарат для наших целей не годится. Позвольте мне процитировать слова Абрахама Робинсона: «Мы собираемся показать, что в настоящих рамках можно развить исчисление бесконечно малых и бесконечно больших величин. Это дает нам возможность заново сформулировать многие известные результаты теории функций на языке бесконечно малых так, как это было предсказано в неопределенной форме еще Лейбницем». («Введение в теорию моделей и мета-математику алгебры», М.: «Наука», 1967, с. 325.) И еще: «Нестандартное дифференциальное исчисление может конкурировать в простоте с самым ортодоксальным подходом». (Там же, с. 340.) Об интегрировании: «Наше ограничение разбиениями на интервалы одинаковой длины слишком искусственно. Мы построим аппарат, который позволит нам рассмотреть более общие разбиения». (Там же, с. 341).
Наличие нестандартной модели анализа в современной математике свидетельствует, что никаких принципиальных, логических запретов на избранном нами пути не существует. Пусть новые представления о движении кажутся, если не абсурдными и безумными, то надуманными и бесполезными. Они, просто-напросто, необычны и непривычны, но точно также НЕПРОТИВОРЕЧИВЫ.
В 1963 году Лео Мозер показал, что если луч света падает под углом на две сложенные вместе стеклянные пластинки, то в зависимости от числа отражений, которые он испытывает, получается разное число возможных путей. При больших значениях числа отражений числа возможных путей образуют ряд Фибоначчи. (Пример Мартина Гарднера из Scientific American. Русский перевод: М.Гарднер. Математические новеллы. М.:»Мир», 1974, стр. 398.) Предлагаемый нестандартный подход, очевидно, может оказаться продуктивным для интерпретации квантово-механических явлений, однако данная модель движения не согласуется с выводами теории относительности, где варианты отношений dx/dt ограниченны верхней границей C – скоростью света. В то же время, релятивистский закон сложения скоростей, как уже отмечалось, нарушает аксиому Евдокса-Архимеда. И хотя сам этот закон является следствием преобразований Лоренца для 4-х мерного псевдоевклидового простраства-времени, нестандартный подход позволяет взглянуть на суть дело несколько по иному.
Ничто не мешает нам перевернуть логику следования и сказать, что неархимедово сложение величин является первопричиной, а псевдоевклидово пространство - моделью, которая отражает это более фундаментальное отношение. Иными словами, для любой величины, изменяющейся по линейному закону от нуля до бесконечности, мы можем ввести мнимую дополнительную координатную ось и коэффициент перевода этой величины в ее мнимую меру. Тем самым мы зададим закон преобразований, по которому линейное прибавление единичных величин будет осуществляться по неархимедовому закону сложения. Возникает вопрос: если скорость - это отношение расстояния и периода времени, то каким образом мы должны определять скорость изменения абстрактной величины по отношению к самой себе? А главное: коэффициент C - это эмпирическая константа, и было бы слишком самонадеянно искать математические основания для ее введения.
Тем не менее, мы попытаемся это сделать.
Начнем опять-таки с основополагающего для механики представления – с принципа относительности.
Содержание принципа относительности изложить легко: абсолютного движения нет, то есть две точки могут двигаться только относительно друг друга. Если мы берем одну из них за точку отсчета, то полагаем ее покоящейся, а другая относительно нее оказывается двигающейся. Совершенно так же мы можем эту движущуюся принять за неподвижную точку отсчета и считать двигающейся другую. Представление о движении совершенно естественно и необходимо требует принципа относительности - ведь изменение расстояния между точками со временем происходит МЕЖДУ НИМИ.
Схематически принцип относительности поясняется на примере двух точек:
Рис. 12
принимаем одну за систему отсчета - вторая «движется относительно ее» и наоборот. Представим: в пустом пространстве находятся две точки (математически безразмерные), разделенные некоторым расстоянием. Теперь постараемся представить, что это расстояние изменяется... Но каким таким образом можно здесь зафиксировать «изменение»? Анри Пуанкаре, иллюстрируя этот казус, провел мысленный эксперимент - спросил: что было бы, если бы расстояния между всеми точками мира внезапно увеличились в два раза? И ответил: мир этого не заметил бы. Думаю, все понятно. Для того, чтобы можно было говорить об изменении расстояния между двумя точками, надо представить себе наличие еще одной точки, которая относительно какой-либо из заданных неподвижна.
Рис. 13
Неподвижна - то есть находится все время от нее на одном и том же расстоянии. Тут пока никаких сложностей нет: просто мы декларируем, что нам нужна не точка, а система отсчета с заданным эталоном длины АВ. Но ведь мы начинали с двух точек, потом добавили третью и вроде как можем теперь говорить о движении, однако правомерно задать вопрос: как мы определим, что между точками А и В расстояние постоянно, а между А и С изменяется? Ведь с таким же успехом мы можем принять расстояние ВС за эталон, а прежний эталон считать изменяющимся! В этих рассуждениях нет ничего нелогичного, наоборот, мы ввели третью точку и эталонное расстояние именно потому, что не могли определить изменение расстояния, но точно также мы не можем определить и неизменность его меры. Точнее можем определять его и так и так: то АВ берем за неизменный эталон и говорим, что точка С равномерно удаляется от А и от В, то берем за неизменность расстояние между А и С, тогда прежнее эталонное расстояние АВ должно полагаться изменяющимся.
Рис. 14
Но ведь, если менять местами эталоны длины, получится странная картина. Мысленно представим, что «равномерно движущаяся» С как бы неподвижна и задает нам меру расстояния АС = const, тогда «реально неподвижная» относительно ЭТОЙ меры будет двигаться неравномерно: В приближается к А все время замедляясь. В самом абсурдном варианте (если рассмотрение начать с более раннего момента) она ускоряется от нуля до бесконечности, потом «прилетает» из бесконечности с другой стороны и начинает опять замедляться до нуля - всю оставшуюся в запасе вечность.
Вышеописанный вывод кажется настолько диким, что первое желание - отбросить его за ненадобностью. Проблема в том, что если мы в принципе относительности Галилея-Ньютона открываем для себя взаимоэквивалентность двух точек именно в процессе их мысленной замены, то почему в логически необходимой системе из трех точек вдруг должны отвергнуть взаимозамену совершенно такую же? Логические возможности возникают не для того, чтобы мы их просто отбрасывали, надо все-таки попытаться понять, что обнаруживается в этой странной ситуации. Может быть, все дело в неправильной интерпретации полученных результатов?
Во-первых, в «абсурдном» варианте мы получили сразу представление о ВСЕХ ВОЗМОЖНЫХ скоростях. То есть, эта «сумасшедшая» точка начинает с какого-то минимального расстояния (равного заданному) потом пробегает все возможные значения скорости до бесконечности, затем прилетает «с другой стороны» замедляясь опять до нулевого (при условии, что мы начали с какого-то момента, а на весь цикл отпустили вечность, и, конечно, при том условии, что «реально двигающаяся» точка сближалась с точкой отсчета, а сблизившись - полетела дальше удаляясь).
Во-вторых, стандартный вариант, если внимательнее присмотреться, тоже не очень-то прост. Если у нас задана только одна единственная равномерная постоянная скорость, то ее количественное выражение может быть двояким. Скорость - как отношение отрезка пути к заданной единичной мере времени [м/с], и - совершенно эквивалентное - отношение периода времени, затраченного для прохождения единичного отрезка расстояния [с/м].
Зададимся простым вопросом: почему в обычном понимании движения исключена альтернативная размерность, почему мы не выражаем скорость как количество секунд, затрачиваемых на прохождение единицы расстояния – ведь это отношение логически допустимо, а математически вполне индивидуально для каждой конкретной скорости?
Разве нас удивляет, что на стадионе спортивный результат судьи выражают не в численном значении скорости бегуна, а в количестве времени, затраченном на прохождение дистанции? Это ведь уникальный факт: движение измеряется не метрами за секунду, а временем, которое потребовалось для преодоления заданного расстояния! Тем не менее, в физике данная мера движения с размерностью [с/м] отвергается. Почему?
На этот «детский» вопрос можно дать вполне серьезный ответ. Множество всевозможных скоростей люди упорядочивают по принципу «медленнее-быстрее», и, сообразно этому, выстраивают по вектору «меньше-больше»: чем быстрее скорость, тем она численно больше, - большее количество метров преодолевается за единицу времени. Взяв же иную меру, мы столкнемся с обратным соотношением: большей быстрости вынуждены будем приписывать меньшее число, - чем быстрее движется материальная точка, тем меньшее количество секунд ей требуется для прохождения единичного расстояния.
Традиционный спектр скоростей начинается с нуля (покой) и количественно возрастает по мере увеличения-убыстрения скорости (в классической механике верхний предел скорости неограничен). «Самая быстрая», бесконечно большая скорость - это бесконечное количество метров за единицу времени. А вот с альтернативной размерностью [с/м] все выглядит точно наоборот: покой - это бесконечное количество секунд, затрачиваемых на «прохождение» единичного расстояния, так сказать, бесконечно большая медленность. Согласитесь, считать от бесконечности к нулю, по крайней мере, не удобно.
Может показаться, что наши рассуждения - мудрствования на пустом месте. Однако это не так. Достаточно сказать, что Готфрид Лейбниц при создании математического анализа неоднократно размышлял над этим вопросом. Он писал: «Покой может рассматриваться как бесконечно малая скорость или как бесконечно большая медленность» (Г.В.Лейбниц. Сочинения в четырех томах. Т. 1. М.: «Мысль» с. 205. См. также т. 3, с. 199.).
У Лейбница есть еще одно примечательное рассуждение: он отождествляет нулевую скорость движения по окружности с бесконечной скоростью, когда «каждая точка окружности должна всегда находиться в одном и том же месте» (Т. 3, с. 290). То есть логически отождествляются не только 0 м/с и Ґ с/м (соответственно Ґ м/с и 0 с/м), но также 0 м/с и Ґ м/с при циклическом движении. Это последнее отождествление открывает перед нами выход из запутанной ситуации.
Почему не удобно отсчитывать увеличение скорости движения в мере [с/м]? Потому, что приписывая системе отсчета бесконечную медленность и вводя для движущейся точки некую единичную медленность 1[с/м], мы не получим равномерную шкалу величин, где можно арифметически складывать А[с/м] + В[с/м] = (А + В)[с/м]. То есть такое сложение будет противоречить нормальному представлению о том, как оцениваются скорости при переходе от одной системы отсчета к другой. Но дело коренным образом измениться, если мы воспользуемся, так сказать, преобразованием Лейбница.
В самом деле, когда мы в классическом принципе относительности выявили необходимость введения третьей точки, задающей неизменную меру расстояния, именно эта третья точка и служила прообразом покоя - за любой период времени она «могла пройти» только нулевое расстояние. Если мы, вслед за Лейбницем, отождествим покой и бесконечную скорость циклического движения, то обнаружим удивительную вещь: приписав такой покоящейся точке бесконечную скорость, мы вместе с мерой длины вводим и меру круговой траектории, длина которой определяется мерой длины как радиусом. Тогда оказывается, что в мере медленности [с/м] эта скорость будет уже обладать не бесконечной, а нулевой медленностью: для обегания этого радиуса ей требуется ноль секунд. Теперь мы уже можем вести нормальное сложение медленностей, начинаем с покоящейся системы отсчета, а единичной медленностью будет считаться 1 секунда, требуемая для обегания единичной круговой траектории. Соответственно, обегание этой траектории за 2 секунды дает другую величину скорости движения - более медленную и т.п. При этом относительность в таком круговом движении полностью сохраняется, а «медленности» можно складывать арифметически. Иными словами, теперь для величин медленности строится нормальная ось, где отсчет идет от нуля до бесконечности. Правда, к бесконечной медленности - к полному покою - устремлены не скорости линейного перемещения по прямой, а скорости передвижения по единичной круговой траектории.
А теперь самое интересное. Если для такой величины как медленность также должен действовать неархимедов закон сложения, то до бесконечной медленности нам не добраться. Должна существовать верхняя грань – предел медленности, столь же недостижимый, как скорость света. Мерой этого предела будет, естественно, [с/м] - то есть величина обратная мере скорости. И если эмпирическая предельная скорость C реально существует и измеряется в [м/с], то должна существовать некая эмпирическая константа, измеряемая в [с/м]. Было бы очень поэтично именовать ее, скажем, «скорость темноты», но в такую мистику мы впадать не будем, поскольку требуемая константа в физике известна - она образуется из соотношения e2/h где e - заряд электрона, а h - постоянная Планка. А отношение скорости света к данной комбинации эмпирических констант дает нам безразмерную величину, именуемую постоянной тонкой структуры. Ее величина округленно равна 137, и до сих пор не прекращаются попытки выразить это число через комбинацию математических констант p и е. Теперь можно утверждать, что эти попытки не лишены оснований.
Можно задаться вопросом: значит ли все вышеизложенное, что для абстрактного континуума существуют естественная метрика и реальный закон, упорядочивающий возрастание величины в области действительных чисел, располагающихся между недостижимыми точками 0 и Ґ? Я полагаю, что - да. Правда, для того чтобы это четко показать надо точно уяснить: что он из себя представляет - этот линейный континуум? Если для пространства суть дела более-менее уяснена, то в отношении времени дело выглядит не столь ясным.
III. ХРОНОМЕТРИКА. АРЕАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА.
К сожалению, метрические свойства времени, в отличие от его направленности и текучести, привлекают внимание теоретиков в последнюю очередь. Есть важная причина: именно здесь время как таковое легко отождествляется с пространством - с одномерным линейным континуумом, поэтому ничего специфически временного здесь как бы не обнаруживается.
Известны попытки дать логическое обоснование тому, что временная ось является линейным континуумом подобным континууму вещественных чисел. Наиболее детально это сделано Бертраном Расселом. Мне представляется существенным замечание высказанное по этому поводу английским космологом Дж.Уитроу в его великолепной книге «Естественная философия времени» (G.J.Whitrow, «The Natural Philosophy of Time» London and Edinburgh, 1961, русское издание - М.: «Прогресс», 1964), он совершенно правильно указывает, что в математике существуют упорядоченные множества и более сложного типа.
Уитроу замечает: «Рассел ОПРЕДЕЛЯЕТ мгновение как такое множество событий, любые два события из которого одновременны, и не существует другого события (то есть события, не содержащегося в множестве), одновременного со всеми этими событиями. Предполагается, что мгновения, определенные таким образом, СУЩЕСТВУЮТ» (Дж.Уитроу, Естественная философия времени, стр. 207.)
Мы оказываемся в замкнутом круге: собираясь предпринять логическое исследование времени мы неизбежно начинаем опираться на «эмпирические данные опыта», и в результате получается наукообразный перевод наших субъективных установок на язык логических терминов.
Тем не менее, отметим важность поставленного вопроса: является ли континуум времени тождественным континууму вещественных чисел или он имеет некую иную, более сложную, структуру? Ответ на этот вопрос может составить основу науки под названием «ХРОНОМЕТРИКА».
Таким образом, нас в первую очередь будут интересовать метрические отношения, характерные для временного континуума. И здесь открывается еще один принципиальный аспект - конгруэнтность. Если для определения конгруэнтности пространственных отрезков более-менее подходят ссылки на сравнимость отрезков при их параллельном переносе, то для сравнимости временных периодов даже эта возможность исчезает.
Проблеме конгруэнтности пространственных и временных отрезков посвящена книга Адольфа Грюнбаума «Философские проблемы пространства и времени» (Adolf Grunbaum, Philosophical Problem of Space and Time. N.Y., 1963, русское издание - М.: «Прогресс», 1969.) Суть дилеммы: существует ли основание для приписывания пространству (и времени) внутренней метрики, согласно которому совпадение только устанавливает равенство отдельных интервалов, обусловленное внутренне присущим им количеством? Грюнбаум защищает в своей книге позицию Римана-Пуанкаре, согласно которой определение конгруэнтности конвенционально. То есть у пространства и времени нет внутренне присущей им метрики. Также как и у линейного континуума вещественных чисел, где за единицу измерения может быть принято любое число: начав с 1, мы прибавляем к ней еще одну и получаем 2, одновременно получая и 1/2, при условии, что полученная двойка будет считаться единичной мерой.
Однако, как и следовало ожидать, в анализе проблемы конгруэнтности у Грюнбаума чаще всего рассматриваются пространственные отношения, которые потом переносятся на временной порядок. А специфика временного порядка опять-таки появляется только в анализе анизотропии (направленности) времени и экзотических вариантов замкнутого, циклического временного порядка.
Итак, основной проблемой хронометрики является поиск ответа на вопрос: тождественны ли континуум временного порядка и континуум вещественных чисел? Возможных ответов выявляется три: оба континуума тождественны, а если не тождественны, то - либо упорядоченный временной континуум более прост, либо он более сложен. В свою очередь, простота временного континуума может выражаться в том, что он является счетным множеством: тождественен натуральному ряду чисел - имеет атомарную структуру, или тождественен множеству рациональных чисел - все интервалы соизмеримы. В случае его «большей сложности» вариантов снова два: либо какая-либо известная нам «сложность», либо некая особая специфика - множество какого-то особого типа.
Когда Рассел писал в 1914 году свое исследование, он традиционным образом переносил на временной порядок уже известные из математики методы, а сам временной порядок представлял исходя из данных нашего чувственного опыта. Вообще-то другого пути у нас нет: все наши представления о времени - это данные нашего опыта. Но опираться надо все-таки на представления о ВРЕМЕНИ, а не о его ИЗМЕРЕНИИ. Это очень важная оговорка.
Дело в том, что метрически ИЗМЕРЕНИЕ времени - операция совершенно идентичная построению шкалы для любой измеримой величины. Однако, когда мы строим шкалу температур, мы не утверждаем, что температура - это линейный континуум. Здесь мы отдаем себе отчет, что мы именно ТАК упорядочиваем данные измерения, для того, чтобы было удобно сравнивать разные температуры одного тела в разных ситуациях или разных тел в одной ситуации. А вот со временем - иначе. Мы неявно предполагаем, что наша процедура измерения - откладывание последовательно неких длительностей, определенных по «тик-так» какого-либо периодического процесса - это и есть ВРЕМЯ. То, что время нами измеряется, конечно, отражает особенности этой сущности, однако эта сущность - ВРЕМЯ - ими отнюдь не исчерпывается. Иными словами, в наших представлениях о времени надо поискать такое его свойство, которое с «измеримостью» не связано, то есть отражает какое-то другое специфическое качество времени.
Мы возьмем за основу такое всем понятное свойство времени, как его разделение на ПРОШЛОЕ, НАСТОЯЩЕЕ и БУДУЩЕЕ. Ясно, что к измерению времени это разделение не относится, но вот к анизотропии, к направленности времени оно явно имеет прямое отношение. Новизна моего подхода состоит в том, что я предлагаю именно от этой «явности» и абстрагироваться. То есть для нашего анализа пока совсем не важно, что время «течет из прошлого – через настоящее - в будущее». Важно то, что единое множество мгновений времени каким-то образом делится на части (подмножества).
Итак, мы начнем с очевидного для всех разделения «единого потока времени» на ПРОШЛОЕ - НАСТОЯЩЕЕ - БУДУЩЕЕ. Понятно, что, если мы хотим хоть немного продвинуться в научном понимании сущности времени, надо раз и навсегда отбросить психологические интерпретации и признать: разделение ПРОШЛОЕ - НАСТОЯЩЕЕ - БУДУЩЕЕ - это объективное свойство ВРЕМЕНИ, присущее ему независимо от того, кто воспринимает его или участвует в этом процессе - человек-мыслитель, собака-сторож или спонтанно распадающаяся элементарная частица.
Если мы абстрагируемся от субъективности, то ВРЕМЯ предстанет перед вами как предмет вполне пригодный для аналитики и мы заметим одну фундаментальную его особенность.
Здесь, в знак уважения к прошлому, я хочу воспроизвести постулат из работы «Учение о Пространстве и Времени» оригинального русского философа Александра Васильевича Сухово-Кобылина, работы написанной еще в конце XIX века. Это Учение - часть так до сих пор и не изданной книги «Всемир», где философ пытался смоделировать Универсум с помощью биномиального разложения многочлена бесконечной степени. А.В.Сухово-Кобылина у нас знают больше как литератора, а его научные труды мне пришлось изучать в 1990 году в архиве ЦГАЛИ СССР, где хранятся неопубликованные рукописи этого замечательного мыслителя. Сходящиеся ряды у автора «Всемира» предстают символом процессирования Абсолютной Идеи, тут же разворачивается «Философия спирали», от бесконечности отнимаются конечные числа и пр. Так вот, у Сухово-Кобылина, как некий рефрен, повторяется: «Время, разделено на три времени - настоящее, прошедшее и будущее... Прошедшее прошло, его нет. Будущее еще будет, его нет. ЕСТЬ только настоящее».
В логическом смысле представляет интерес деструкция, рассечение этого «потока мгновений» на три части (три подмножества). Причем, только одно подмножество ЕСТЬ, а двух других подмножеств, оказывается, НЕТ. Будущего-прошлого НЕТ потому, что разделяющая их связка - настоящее - снабжено «предикатом» ЕСТЬ. Так появляются абстрактные объекты, к которым можно попробовать применить традиционные для математики методы.
Итак. Будем считать ВРЕМЯ - множеством мгновений. Или иначе:
1. Есть некое множество, которое мы именуем «время».
2. Состоит это множество из бесконечного числа индивидных элементов, которые мы именуем «мгновения».
3. Элементам ЭТОГО множества будет приписано оригинальное качество: если один элемент этого множетсва ЕСТЬ, то остальных элементов этого множества НЕТ.
Чтобы не путаться в чувственных ассоциациях, связанных со словами ЕСТЬ и НЕТ, определим это оригинальное свойство поточнее, а определение дадим пошире. Скажем так. Все элементы данного множества обладают такой особенностью: если один (или несколько) элементов являются РЕАЛЬНЫМИ, то все другие элементы множества являются НЕРЕАЛЬНЫМИ. А множества такого типа будем именовать - АРЕАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА. Термин «ареальность» воплощает два смысла: это соединение отрицательной приставки «а» со словом «реальность», и отсылка к биологическому термину «ареал» (место обитания определенного вида существ). Отношение АРЕАЛЬНОСТИ предлагаю обозначать символом 
Что мы получили в результате такого определения?
Во-первых, констатируем, что ВРЕМЯ, как таковое, подходит под это определение - если мгновение настоящего считать одним единственно реальным, то все другие мгновения в самом точном смысле, - нереальны: прошлые мгновения уже были реальными, будущим эта роль еще предстоит. Во-вторых, задав ОБЩЕЕ определение, мы подразумеваем, что помимо времени есть и другие прообразы, которые временем совсем не являются. Если мы определили некое небывалое множество, то правомерность определения может быть подтверждена только в том случае, если помимо ВРЕМЕНИ, удастся найти другие денотаты для этой номинации.
Ареальность отчетливо видна в процессе введения меры на оси действительных чисел. В самоме деле, для заданной оси естественным образом предполагается, что возможна перенормировка: взяв 2 за новую единицу, мы старую единицу превращаем в 1/2 и т.п. Иными словами, вся совокупность возможных мер-нормировок является типичным ареальным множеством: если взята - стала реальна - одна из мер, все другие остаются нереализованными - так сказать «пребывают в нереальности». При всей непривычности таких оценок, использование определения «ареальное множество» здесь оказывается правомерным.
Но самое примечательное, что простейшее ареальное отношение - это ни что иное, как логический закон противоречия: либо - А, либо не-А, третьего не дано. То есть, если А - реально, то не-А - нереально. Оно ведь не исчезает это не-А, без него ведь само это А просто немыслимо, но мы, как само собой разумеющееся, полагаем: если А существует, то не-А – именно что не существует! То есть, оно существует - мыслимо - но существует как-то - «нереально». Короче говоря, А и не-А вместе образуют ареальное множество из двух элементов.
Аристотель, а за ним и все логики, постоянно подчеркивали, формулируя закон противоречия: не может быть и А и не-А в одном и том же отношении, в одно и то же ВРЕМЯ. Сейчас важно переставить акценты: мы формулируем ЛОГИЧЕСКОЕ ОТНОШЕНИЕ, с помощью которого моделируем время, а не эмпирическое время используем для подкрепления логической очевидности.
Введя принцип АРЕАЛЬНОСТИ, мы неожиданно обнаруживаем в самом эмпирическом времени особое свойство. Если временной континуум отождествить с таким же ареальным множеством нормировок числовой оси, то надо сделать странное заключение: временной порядок осуществляется так, что реализация одной из нормировок происходит только в том случае, если реализовалось - стала мгновением - лишь ОДНА ее точка. Реализация конкретной нормировки может происходить во времени только через реализацию одной ее точки - иначе реальным должно становиться все множество точек, соответствующих данной нормировке. Иными словами, в данной системе отсчета любой РЕАЛЬНО ПРОТЕКШИЙ отрезок времени образован точками, каждая из которых является точкой только одной определенной уникальной нормировки из бесконечного множества таковых. Если «стрела времени» линейна, то только потому, что в нереальность выводится с каждым мгновением бесконечное множество других мгновений, образующих вместе с данным ординарный линейный континуум вещественных чисел. Не углубляясь в дальнейшие выводы, отмечу, что именно тут обнаруживаются основания для анизотропии времени.
Интерпретация этого свойства, по-видимому, потребует в дальнейшем включения в рассмотрение множества систем отсчета, но здесь мы ограничимся сказанным. На данном этапе построения ХРОНОМЕТРИКИ элементарного качественного описания, полагаю, достаточно.
IV. ЭМПИРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО. СИНКРЕТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
Считается, что геометрия - это первая наука созданная человеком последовательно и логически. Именно геометрия с ее постулатами, аксиомами и теоремами стала парадигмальным образцом, на который ориентировались все ученые - и физики, и математики, и даже философы. Честно говоря, остается не ясным - может ли мысль, претендующая на звание научной, воплощаться в какой-либо иной форме.
Когда Декарт воображал три взаимоперпендикулярные прямые, пересекающиеся в одной точке, он мыслил перед собой всю объемлющую нас пустоту, в которой двигаются мириады разнообразных и разноразмерных материальных тел. Они прочерчивают в трехмерном пространстве свои траектории, меняя в каждый момент времени свои координаты, создавая абстракцию линии (по определению Камилла Жордана). Это представление о соотношении геометрической (мыслимой) теории и реального (эмпирического) пространства было долгое время бесспорным.
Если Николая Лобачевского еще волновал вопрос: соответствует ли реальное пространство его «воображаемой геометрии», то продолжатели неевклидовости пришли к однозначному выводу: пространство - это только формальная модель, математическая структура. Так в истории науки выстроилась интересная цепочка идеологем: сначала описывают как бы реальное окружающее пространство, потом понимают, что «пространство» - это нечто более общее (пространство как математическая структура), и получается, что окружающее нас «реальное пространство» - лишь частный случай, описываемый этой моделью.
Давайте вдумаемся в смысл последнего утверждения. Оказывается, что аксиоматическая математическая структура, которая нами именуется «пространство» - это только МОДЕЛЬ, которая может описывать много разных ситуаций, в том числе - и ту реальную пустоту, которая нас окружает. Таким образом, геометрия перестала быть наукой об «эмпирическом пространстве»: описывая пространство мы пользуемся МОДЕЛЬЮ, которая сама по себе ТАКАЯ, а вовсе не потому, что пространство таково. Широкая применимость пространственных моделей выявила явным образом разделение модели и ее прообраза. Иными словами: то НЕЧТО, которое вокруг нас - это отнюдь не то же самое, что мы привыкли выражать в геометрической модели 3-х взаимоперпендикулярных осей. Может быть, реальное «эмпирическое пространство» - то, окружающее нас, пространственноподобное НЕЧТО на самом деле - по сути своей - гораздо сложнее?
Я здесь не о потусторонних «тонких мирах» говорю, и не о физическом вакууме или каком-либо воображаемом эфире. Как писал Оккам: не следует измышлять сущностей сверх необходимости. Нужно просто в старых «сущностях» увидеть то, что по сути возможно и сейчас необходимо. Надо выработать новое фундаментальное логическое понимание, фундаментальное не в меньшей мере, нежели евклидовы точки и прямые. Тысячу лет назад Евклид сформировал представление о том, что аксиоматическая система взаимоотношений таких точек и прямых - это и есть пространство. Сейчас мы должны найти такую же «простую идею» - фиксирующую суть того НЕЧТО, что нас окружает.
Когда Ричард Фейнман заявлял: «Теория, согласно которой пространство непрерывно, мне кажется неверной», он восставал не против геометрии, а против отождествления геометрических моделей и эмпирического пространства. Стало быть, речь идет о том, чтобы использовать имеющиеся геометрические, математические и метаматематические модели для создания единой теории, более адекватно описывающей окружающее нас НЕЧТО.
«Натуралистические» поправки к геометрии делал еще конвенциалист Пуанкаре. Он указывал на так называемую «скрытую аксиому» – эмпирический факт, который замаскирован среди аксиом Евклида в виде постулата о прорисовке окружности циркулем. То, что поворачиваемая полупрямая рано или поздно совпадает со своим продолжением логически не увязывается с аксиомами о статичных точках и прямых, не следует из них, не подразумевается ими. А сам этот «эмпирический факт» выражается в конкретном иррациональном числе p. Наличие таких «эмпирических констант» в математике (а это и p, и основание натуральных логарифмов е, и числа Фибоначчи, дающие иррациональное число j, и прочие примечательные соотношения) - это знаки, указывающие нам путь к единой синкретической геометрии. Мысль Альберта Эйнштейна о том, что можно понять мир чисто умозрительным путем не кажется мне чересчур смелой.
Дата публикации: 3 сентября 2002
Источник: SciTecLibrary.ru