Теория бесконечности
и время

Аннотация. В сообщении логически обосновывается предложенный нами ранее в основание математики метатеоретический принцип: счетное множество знаков десятичной потенциально бесконечной периодической дроби полно, но противоречиво, а счетное множество знаков десятичной актуально бесконечной непериодической дроби неполно, но непротиворечиво [1, с.46-52].

Мы будем исходить из того, что всякая фундаментальная проблема имеет логически однозначное и понятное решение, которое излагается кратчайшим образом.

Проблема: «Если исключить из рассмотрения бесконечные периодические десятичные дроби с периодами, состоящими только из одних девяток, то всякое действительное число будет записываться в виде бесконечной десятичной дроби однозначным образом» [2, с. 176-177]. То есть все действительные числа, кроме 1 записываются однозначным образом в форме бесконечной десятичной дроби, но только исключительно число 1 допустимо записать и как 1,(0) и как 0,(9), т.е. неоднозначным образом.  

Дилемма №1. Справедливо ли мнение, что числа 0,(9) и 1 – это одно и то же число на числовой оси? Но, ведь, если бы это утверждение соответствовало действительности, то не справедливо было бы следующее равенство: 1 - 0,(9) = 10 ^ (-∞), которое означает, что разность этих чисел не равна 0.

Дилемма №2. Если между числами 0,(9) и 1 на числовой оси не существует других действительных чисел, то в этом случае, множество знаков в десятичной периодической дроби 0,(9) и в других периодических дробях – актуально бесконечно. Однако числовая ось континуальна, что означает следующее решение проблемы.

Решение проблемы: число 1 записывается неоднозначным образом в виде бесконечных десятичных дробей 0,(9) и 1,(0) только в случае допущения актуальной бесконечности знаков дроби 0,(9) и оно записывается однозначным образом, т.е. как 1,(0) в случае потенциальной бесконечности знаков дроби 0,(9). Разность между числами 0,(9) и 1 имеет значение потенциально бесконечно малой величины в смысле классического математического анализа. При этом множество знаков после запятой в непериодической дроби, в отличие от дроби периодической, актуально бесконечно потому, что в иррациональном числе актуально не существует последнего знака.

Литература

  1. Годарев-Лозовский М.Г.Четыре метатеоретических принципа в основании научного знания. // Приложение Международного научного журнала «Вестник психофизиологии». 2019 (4), ISSN 2587-5558.
  2. Математический энциклопедический словарь. Гл. редактор Ю.В. Прохоров. М. «Советская энциклопедия». 1988, 845с.

Why does the fraction 0, (9) have a potentially infinite set of signs?

Godarev-Lozovsky M. G. (Russian philosophical society) Адрес электронной почты защищен от спам-ботов. Для просмотра адреса в вашем браузере должен быть включен Javascript.

Abstract. The report logically substantiates the metatheoretic principle that we proposed earlier in the Foundation of mathematics: the countable set of signs of a decimal potentially infinite periodic fraction is complete, but contradictory, and the countable set of signs of a decimal actually infinite non-periodic frac-tion is incomplete, but consistent [1, p. 46-52].

We will assume that every fundamental problem has a logically unambiguous and understandable solution that is outlined in the shortest possible way. Problem: "If we exclude from consideration infinite periodic decimals with periods consist-ing only of nines, then every real number will be written as an infinite decimal fraction in an unambiguous way" [2, p. 176-177]. In other words, all real numbers except 1 are written in an unambiguous way in the form of an infinite decimal fraction, but only exclusively the number 1 can be written as both 1,(0) and 0,(9), i.e. in an ambiguous way.

Dilemma №1. Is it true that the numbers 0,(9) and 1 are the same number on the numeric axis? But, after all, if this statement were true, the following equality would not be true: 1 - 0,(9) = 10 ^ (-∞), which means that the difference between these numbers is not equal to 0.

Dilemma №2. If there are no other real numbers between the numbers 0,(9) and 1 on the numeric axis, then the set of signs in the decimal periodic fraction 0,(9) and in other period-ic fractions is actually infinite. However, the numerical axis is continuous, which means the following solution to the problem.

 Solution to the problem: the number 1 is written ambiguously as infinite decimals 0,(9) and 1,(0) only if the actual infinity of signs of the fraction 0,(9) is assumed, and it is written un-ambiguously, i.e. as 1,(0) in the case of potential infinity of signs of the fraction 0,(9). The difference between the numbers 0,(9) and 1 has the value of a potentially infinitesimal value in the sense of classical mathematical analysis. At the same time, the set of decimal places in a non-periodic fraction, as opposed to a periodic fraction, is actually infinite because the last sign does not actually exist in an irrational number.

Literature

  1. Godarev-Lozovsky M. G. Four metatheoretic principles in the basis of scientific knowledge. // Appendix Of the international scientific journal "Bulletin of psychophysiology". 2019 (4), ISSN 2587-5558.
  2. Mathematical encyclopedia. Chief editor Yu. V. Prokhorov. M. "Soviet encyclopedia". 1988, 845c.