Теория бесконечности
и время

Введение

Наука, чтобы остаться эффективным и трезвым предприятием, вынуждена всегда задумываться о своих границах. Подобное продумывание обычно осуществляется в рамках тех паранаучных дисциплин, которые занимаются проблемами обоснования научного знания: методологии и философии науки. Утеря чувства границ всегда приводила и приводит науку к утопическим проектам, которые суть своеобразный род мечтаний, замыкающих человека в некоторую “виртуальную” реальность. Эта виртуальная реальность ложного проекта, нередко, тем герметичней отгораживает человека от истинной реальности, чем более состоятельной с абстрактно-логической точки зрения выглядит соответствующая научная теория.

Можно рассматривать как внутренние, так и внешние границы науки. Внутренние границы обусловлены самим научным методом. Познание не исчерпывается только научным познанием. Последнее имеет свои специфические особенности. Еще Паскаль учил нас различать “raison gйomйtrique” и “raison de finesse”. Наука сама выделяет изучаемую ею сферу реальности, сама конструирует свой предмет и задает свои правила, тем самым определяя и свои границы. Однако внутренние границы науки хотя всегда и наличные, тем не менее исторически достаточно подвижны. Наука стремится раздвинуть свои границы как “вширь” — экстенсивно, через включение в исследование все новых и новых областей, так и “вглубь” — через более критический пересмотр своих методов и предпосылок. Наука в этом смысле предприятие всегда развивающееся, растущее, с подвижными внутренними границами.

Однако ограничения науки возникают и по другой причине. Наука, используя определенный методологический инструментарий, стремится рационализовать изучаемые фрагменты реальности, дать их образ в виде некой связной логической системы. Но не все в реальности допускает такую рационализацию, что и создает внешние границы для науки. В жизни присутствует и иррациональное, причем двояко: и как до-рациональное, и как сверхрациональное. В реальности есть место хаосу, в котором разуму, так сказать, “не на что опереться”... В то же время есть и сверхрациональное — то, доступ к чему был возможен, например, в неоплатонизме, только благодаря экстазу (мистика Единого). В мировых авраамитических религиях это есть Бог-Творец, познаваемый не столько через наше изучение Его, сколько через Его нам откровение... В этой сфере также возможно (и действительно) познание, но уже не в его научной форме, предполагающей целый набор философских и методологических предпосылок: субъект-объектное разделение, возможность методологически контролируемого и повторяемого эксперимента, принудительную доказательность результатов, общезначимость и т.д.

Трезвая позитивная наука, не поддающаяся соблазну сциентистской идеологизации своих методов познания, в своем реальном историческом существовании всегда осознает существование этих границ. Искусство науки в том и состоит, собственно говоря, чтобы, не переходя этих границ, объяснить все, что может быть объяснено, рационализовать все по природе рационализуемое, не соблазняясь на невозможное. Однако фундаментальные научные теории вынуждены подходить к этим границам, и тогда наука являет нам захватывающую драму человеческого познания, в дерзновениях, прельщениях и крушениях которой, нередко довольно трагических, мы учимся лучше различать: что мы действительно знаем, во что мы верим, а чего нам просто очень хочется...

Одной из таких фундаментальных теорий является теория множеств, лежащая в основании всей сегодняшней математики и, следовательно, всего математического естествознания. На примере истории ее генезиса, возникновения и обсуждений ее “парадоксов” и апорий проблема границ науки выступает в высшей степени рельефно и характерно для науки заканчивающегося столетия[1]. К конкретному обсуждению всего этого мы сейчас и перейдем.

I. “Философия бесконечности” Г.Кантора

1. Актуальная и потенциальная бесконечности

Опубликование Г.Кантором первых работ по теории множеств в 70-х — начале 80-х годов прошлого столетия, вводящих в рассмотрение так называемые мощности актуально бесконечных множеств и арифметики бесконечных чисел, вызвало сразу же серьезное сопротивление как в среде математиков, так и в среде философов. Вопрос о существовании актуально бесконечных множеств был классическим философским вопросом, и господствующим мнением здесь со времен античности было отрицание самой возможности таких множеств. Кантор же претендовал давать какие-то градации этих невозможных бесконечностей. Ситуация была довольно скандальной, и Кантору пришлось достаточно рано вступить не только в математическую, но и в философскую дискуссию. Точнее, положение было еще драматичней: говоря с математиками, Кантор был вынужден использовать философскую терминологию, чтобы хоть как-то оправдать всю необычность своих подходов, а полемизируя с философами, использовать свои новые математические конструкции, ибо только они могли конкретно показать ограниченность старых представлений[2]. Так один из основных первоначальных трудов Кантора по теории множеств, специально обсуждающий концепцию бесконечных чисел, называется “Основы общего учения о многообразиях. Математически — философский опыт учения о бесконечном”. Он был выпущен отдельной брошюрой в 1883 году. В предисловии к этой работе Кантор откровенно пишет: “Публикуя это сочинение, я не могу не упомянуть, что когда я писал его, то я имел в виду главным образом двоякого рода читателей: с одной стороны, философов, следивших за развитием математики вплоть до новейшего времени, а с другой — математиков, которые знакомы с важнейшими фактами древней и новой философии”[3]. Как видим, требования к читателю были достаточно высокие. А поскольку большинство математиков и философов второй половины XIX века уже не удовлетворяло им, постольку работы Кантора раздражали как одних, так и других. Достаточно широкий научный кругозор как требуемое условие “безболезненного” восприятия и в особенности обсуждения новой теории был моментом, существенно затруднившим ее вхождение в научный обиход.

 

Введение актуальной бесконечности как базисного научного понятия в математику, как почти всякое значительное нововведение в науке, создало столько же новых проблем, сколько и позволило решить старых. Точнее говоря, создало, конечно же, больше. Однако с самого начала удалось провести аккуратное различение понятий в области, где столь долгое время было много путаницы. Кантор, вслед за Больцано, настойчиво объяснял различие актуальной и потенциальной бесконечностей. “Что касается математической бесконечности,... она, как мне кажется, выступает прежде всего в значении некоторой переменной, то растущей вверх всяких границ, то убывающей до произвольной малости, но всегда остающейся конечной величиной. Такое бесконечное я называю несобственно бесконечным”[4]. Вместе с этим понятием несобственной (или потенциальной) бесконечности в математике встречаются примеры и другого рода, пишет Кантор. Таково, например, использование бесконечно удаленной точки комплексной плоскости в теории функций комплексной переменной. Здесь эту точку рассматривают в собственном смысле, т.е. рассматривают ее окрестности, поведение функции в этой точке и т.д. Благодаря преобразованиям, изучаемым в этой теории, бесконечно удаленная точка становится равноправной со всеми другими конечными точками плоскости. “Если бесконечное выступает в подобной вполне оправданной форме, то я называю его собственно бесконечным”[5]. Действительно, с XVII столетия в математике начинают использовать актуально бесконечные величины. Наряду с бесконечно удаленной точкой в проективной геометрии рассматривают также бесконечно удаленные прямые и плоскости. Основное понятие математического анализа — дифференциал — также рассматривался многими как актуально бесконечно малая[6].

Кантор четко различает три типа величин: конечные, потенциально бесконечные и актуально бесконечные. Вторые не есть собственно бесконечные, а представляют собой лишь переменное конечное. Собственно бесконечное, как вводит его Кантор, представляет собой одновременно и определенное бесконечное, бесконечные порядковые числа. Эта точка зрения находилась в вопиющем противоречии с более чем двухтысячелетней традицией понимания бесконечного. Патриархом этого понимания был Аристотель, настойчиво утверждавший: может существовать только потенциальная бесконечность. “Вообще говоря, бесконечное существует таким образом, что всегда берется иное и иное, а взятое всегда бывает конечным, но всегда разным и разным. Так что бесконечное не следует брать как определенный предмет, например как человека или дом, а в том смысле, как говорится о дне или состязании, бытие которых не есть какая-либо сущность, а всегда находится в возникновении и уничтожении, и хотя оно конечно, но всегда разное и разное”[7]. Это настойчивое отталкивание античной мысли от актуально бесконечного, понимание бесконечного только как процесса, как становления, бесконечность которого, собственно, сводилась к непрерывности становления, имеют свою основу в особом отношении античной мысли, — и шире: всей культуры, — к форме, в почитании формы, обожествлении ее[8]. Бесконечное есть для античности неоформленное, безобразное, не ставшее и на основании всего этого как бы несуществующее.

Христианство внесло здесь свою существенную поправку: в сознание европейской культуры вошла актуально бесконечная сущность: Бог-Творец. И тут обозначились (и реализовались) разные возможности. Те, кто признавал исходную несоизмеримость Бога и человека, Творца и Твари, в частности божественного ума и человеческого, смиренно преклонялись перед тайной божественного всемогущества, всеведения, вечности, короче, перед тайной божественной бесконечности. О ней мы можем знать только через откровение и только через смирение верующего ума открываются человечеству высшие тайны познания. Другая точка зрения также говорила об откровении, но больше об откровении естественном ( а не историческом), в природе, в твари, и в особенности об образе Божием, отраженном в человеке. Человек был сотворен живой личностью, он обладал разумом, волей, чувством, творческими способностями. Это соблазняющее богоподобие[9] человека открывало также путь и к спекулятивному богословию, к выведению знания о Боге не из откровения, а из рассуждений, из интеллектуальных и философских конструкций. Традиция спекулятивного богословия мощно расцвела внутри западноевропейской схоластики, пережила ее и существенно повлияла на становление новоевропейской науки. Интенциями именно этой традиции питалась и мысль Кантора.

Кантор как раз и хотел взять бесконечность “как человека или дом”, говоря словами Аристотеля, как некий целый законченный предмет, как бесконечное число. И более того. Это число оказывалось не единственным (традиционно обозначавшимся символом ¥). Область бесконечных чисел оказывалась сама бесконечной, со своими особыми свойствами. Вся идущая от античности огромная традиция критики возможности актуально бесконечного есть для Кантора лишь постоянно повторяющийся паралогизм. “Все так называемые доказательства невозможности актуально бесконечных чисел являются, — как это можно показать в каждом отдельном случае и заключить из общих соображений, — ошибочными по существу и содержат prоton feаdoj[10] в том, что в них заранее приписывают или, скорее, навязывают рассматриваемым числам все свойства конечных чисел. Между тем бесконечные числа, если только вообще их приходится мыслить в какой-нибудь форме, ввиду своей противоположности конечным числам, должны образовывать совершенно новый вид чисел, свойства которых зависят исключительно от природы вещей и образуют предмет исследования, а не нашего произвола и наших предрассудков”[11]. Собственно, в разоблачении этих “предрассудков” и состоит в основном канторовская критика предшествовавших философских воззрений, направленных против актуальной бесконечности. Кантору пришлось вести эту полемику, так как и в среде математиков, и в среде философов сразу же после опубликования первых результатов по теории ординалов (бесконечных чисел) большинство, как мы уже сказали выше, выступило против этой опрокидывающей традиционные представления теории.

Однако прежде чем разбирать детали этой полемики, нам необходимо иметь элементарное представление о теории множеств.

2. Элементарные понятия “наивной” теории множеств

Теория множеств в той форме, в какой ее строил сам Кантор, еще до появления парадоксов, до четкого выделения ее аксиоматического базиса и использования современных средств математической логики, называется традиционно “наивной” теорией множеств. Она предполагает постоянную апелляцию к некоей общепринятой и неопределимой интуиции множества. И здесь должно заметить, что парадоксы и вся дальнейшая история развития теории множеств и представляли собой, по существу, как раз критику этой основной интуиции.

Исходное понятие множества тем самым предполагается наличным. Множества можно рассматривать в двух аспектах: а) как неупорядоченные и б) как наделенные некоторым порядком их элементов. Ясно, что первое рассмотрение есть более общий подход. Для любых (т.е., вообще говоря, неупорядоченных) множеств определяется понятие мощности множества. Сам Кантор определяет мощность следующим образом: “Мощностью” или “кардинальным числом” множества М мы называем то общее понятие, которое получается при помощи нашей активной мыслительной способности из М, когда мы абстрагируемся от качества его различных элементов m и от порядка их задания”[12]. Кантор обозначает кардинальное число для множества М (две черты означают двойное абстрагирование из определения). Для мощностей определяются понятия равенства, больше, меньше. Мощности множеств А и В равны (или множества эквивалентны), если существует взаимно однозначное отображение множества А на все множество В. В этом случае пишут А=В. Если же существует взаимно однозначное отображение А на часть множества В, но не существует взаимно однозначного отображения В на часть А, тогда говорят, что А<В. Для кардинальных чисел (мощностей) строится своя арифметика. Суммой множеств А и В (без общих элементов) называется множество, состоящее из элементов как А, так и В: оно обозначается AÈB. Тогда сложение кардиналов по определению есть:

А+В = AÈB

Можно показать, что определение это корректно и получающаяся операция коммутативна и ассоциативна. Произведением двух множеств А={а} и В={b} называется множество С=А·В, состоящее из пар {(а;b)}, где аÎА, a bÎ В. Соответственно определяется умножение кардиналов

А·В = А·В

Так определенное умножение коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения. Можно аналогично определить и возведение множеств в степень, которое также будет обладать традиционными (для чисел) свойствами. Мы тем самым построили некоторую арифметику кардинальных чисел. Для конечных множеств эта арифметика совпадает с обычной арифметикой натуральных чисел. Но поскольку с самого начала предполагалось, что рассматриваемые множества могут быть и бесконечными, тем же самым получена и арифметика бесконечных кардинальных чисел. Свойства бесконечных кардиналов уже отличаются от свойств конечных чисел. Так пусть Àо — первый бесконечный кардинал[13], т.е. мощность множества натуральных чисел Àо = {n}. Тогда нетрудно показать, что Àо > n, Àо + 1 = Àо + n = Àо; Àо·2 = Àо·n = Àо·Àо = Àо; Àо2 = Àо3 = ... Àоn = Àо

 

Восходя от Àо, можно построить целый ряд возрастающих кардиналов. “Из Àо по некоторому определенному закону получается ближайшее большее кардинальное число À1, из него по тому же закону ближайшее большее À2 и так далее. Но и неограниченная последовательность кардинальных чисел

Àо, À1, À2, ..., Àn...

не исчерпывает понятия трансфинитного кардинального числа”[14]. Кантор доказывает существование кардинального числа Àw ближайшего большего, чем все Àn далее Àw и так далее без конца.

Однако чтобы доказывать более тонкие теоремы для бесконечных множеств, одного “голого” понятия множества, лишенного всякой структуры, мало. Поэтому Кантор использует вместе с тем и упорядоченные множества, из которых соответственно и получается обобщение порядковых чисел — трансфинитные ординальные числа. Множество М называется, по Кантору, просто упорядоченным, если:

а) для любых двух его элементов m1 и m2 можно сказать какой из них занимает “более высокое” положение (пишут m1 < m2, если m2 “выше” m1);

б) для любых трех элементов m1, m2, m3

m1<m2 вместе с m2<m3 влечет: m1<m3.

Всякому упорядоченному множеству М соответствует определенный порядковый тип, обозначаемый М. Под порядковым типом Кантор понимает “то общее понятие, которое получается из М, когда мы отвлекаемся от качества элементов +m, но сохраняем их порядковое расположение”[15]. Два упорядоченных множества называются подобными, если их элементы можно поставить во взаимно однозначное соответствие с сохранением порядка. То есть если m1<m2 (в М), n1 соответствует m1, а n2 соответствует m2, то n1<n2 (в N). Тем самым порядковый тип характеризует весь класс подобных множеств. Для продуктивного развития теории нужны, однако не просто упорядоченные множества, а упорядочения с большими ограничениями. Вполне упорядоченным множеством называется просто упорядоченное множество, всякое подмножество которого содержит наименьший (“самый низкий”) элемент. Порядковый тип вполне упорядоченного множества называется соответствующим ему порядковым числом (или ординалом). Для вполне упорядоченных множеств и их порядковых типов (порядковых чисел) можно определить сравнение M<N и доказать теорему:

Если (a и b — два произвольных порядковых числа, то или a=b , или a<b, или a>b.

Для порядковых чисел ( и даже для порядковых типов) можно определить сложение и умножение. А именно: если даны два упорядоченных множества

А = {...а1, ...аn,...} и В = {...b1,...bm,...},

то мы составляем новое упорядоченное множество (А,В), в котором “все В идет за А”, а внутри каждого из множеств сохраняется исходный порядок: (А,В) = {...a1 ,... an,... b1,... bm,...}.

Если a = A, b = B, то мы определяем порядковый тип a+b как порядковый тип множества (А,В):

a + b = (A, B)

Легко видеть, что это сложение уже некоммутативно. Пусть, например, w) есть порядковый тип множества Е = {e1, e2,,..en,,...}, en<en+1, а 1 — порядковый тип конечного множества из одного элемента f. Тогда 1+w ¹ w+1 (о, т.к. 1+ есть порядковый тип множества

(f,E) = {f, e1,e2,...en,...},

а w +1 является порядковым типом множества

(E,f) = {e1, e2,....ev,..., f}.

Эти множества очевидно неподобны: у (E,f) есть последний элемент, а у (f,E) — нет. Однако нетрудно видеть, что 1+ w = w. И более общим образом, n + w = w, где n — любой конечный порядковый тип. Сложение порядковых типов некоммутативно, но оказывается ассоциативным[16]: a + (b+g) = (a+b) + g. Кантор определяет также и умножение порядковых типов, которое тоже не будет коммутативным (но будет ассоциативным).

Итак, исходя из интуиции множества, Кантор строит систему кардинальных чисел и систему ординалов или порядковых чисел. Каждому ординалу соответствует вполне определенный кардинал, а именно мощность любого вполне упорядоченного множества, которое представляет данный ординал. Обратное соответствие уже сложнее. Каждое множество определенной мощности можно вполне упорядочить многими способами (бесконечным количеством способов, если оно бесконечно). Поэтому каждому бесконечному кардиналу соответствует бесконечное множество ординалов, которое Кантор называет числовым классом Z ( ).

3. Канторовская критика Аристотеля. Ориген и Фома Аквинат

Как мы уже сказали выше, канторовская критика традиционного неприятия актуальной бесконечности основана на вскрытии “предрассудков”, т.е. подразумеваемых само собой разумеющимися представлений о бесконечном, как обладающем теми же свойствами, что и конечное. Бесконечное нужно изучать как таковое, а не навязывать ему свойств конечного, настаивает Кантор. Таковы прежде всего возражения против Аристотеля: “Однако если рассмотреть возражения, выдвигаемые Аристотелем против реального существования бесконечности (см., например, его “Метафизику”, кн. XI, гл. 10), то по существу их можно свести к предпосылке, заключающей в себе petitio pricipii, именно к предпосылке, что существуют лишь конечные числа. Об этом он заключил из того, что ему был известен лишь счет на конечных множествах. Но я думаю, что выше я доказал, — и в ходе этой работы это обнаруживается еще отчетливее, — что и с бесконечными множествами можно производить столь же определенные действия счета, как и с конечными, предполагая, что множествам приписывается определенный закон, согласно которому они становятся вполне упорядоченными множествами”[17]. Против возражений Аристотеля Кантор выдвигает новую конструкцию. В этом сила его аргументации, но в этом и ее слабость. “Изучение” бесконечного, к которому призывает Кантор, оказывается достаточно специфичным. Канторовская конструкция естественно поднимает вопрос: насколько она естественна? Возможны ли другие конструкции? Возможны ли другие обобщения понятия числа на область бесконечного? Сама по себе голая конструкция ответа на эти вопросы не дает[18]. Бесконечность, в силу самой своей сущности, оказывается очень неудобным “предметом”, чтобы оценить всю совокупность возможных подходов к ней.

“Другой аргумент, выдвинутый Аристотелем против реальности бесконечного, — продолжает Кантор, — состоит в утверждении, что если бы существовало бесконечное, то конечное было бы разрушено им, так как конечное число будто бы уничтожается бесконечным числом”[19]. Кантор опять дает критику этого аргумента исходя из своей конкретной конструкции. Сложение бесконечного и конечного числа интерпретируется им как сложение ординалов. Так если мы к ординалу , соответствующему множеству натуральных чисел, упорядоченному естественным образом, добавим любое конечное число n справа, тогда это n “не уничтожится”: w = {e1, e2, ..., en}, n = {r1, r2, ..., rn}

w + n = {e1, e2, ...ek,..., r1, r2,... rn} > w

Однако, n + w = w: если мы добавим n слева, то оно “уничтожится бесконечным”:

n + w = {r1, r2, ...rn, e1, e2, ...ek,... } = {e1,e2, ...ek,... } = .

“Только обратное действие, именно прибавление бесконечного числа к конечному, когда сначала полагается конечное число, вызывает уничтожение последнего, не приводя к модификации первого. Эта правильная точка зрения на отношение между конечным и бесконечным, совершенно неизвестная Аристотелю, должна была бы вызвать новые идеи не только в анализе, но и в других науках, особенно в естествознании”[20] [подчеркнуто мной — В.К.]. Невольно хочется здесь защитить Аристотеля. То, что эта точка зрения правильная — это еще под вопросом. То, что представлено, есть лишь некоторая точка зрения. Некоторая интерпретация аристотелевских рассуждений. И, главное, Аристотель скорее бы не согласился с такой интерпретацией. То есть это не было бы ответом на его рассуждения. Потому, что эта интерпретация связана с принятием многих предпосылок, которые чужды и Аристотелю, и античной мысли вообще.

Здесь налицо та самая несоизмеримость научных теорий, о которой столь пространно писал Т.Кун[21]. Вводятся новые понятия и строятся новые научные теории, которые претендуют решить старые неразрешенные задачи. Однако эти новые решения существенно связаны с введением новых объектов, научный статус которых (онтологический ли, или просто логический) сам достаточно проблематичен. Для науки нового времени актуальная бесконечность постоянно играла роль подобного объекта. Так Лейбниц “решил” задачу квадратуры круга: он “вычислил” площадь круга, т.е. выразил ее с помощью бесконечного ряда. Однако что это за объект — бесконечный ряд, легально ли его введение в математику, каковы необходимые логические предпосылки этого введения — все эти вопросы оставались по существу открытыми вплоть до XIX века. По существу произошла замена одной проблемы на другую. Можно ли это считать решением задачи квадратуры круга, как ее понимала античность?[22]. Канторовское настойчивое желание ввести “бесконечные числа” грешит все тем же: игнорированием логических границ между старой и новой теорией. Нужно было почти столетнее усилие методологической философской мысли, чтобы сегодня на пороге нового века мы научились лучше различать границы различных эпистем.

С уважением относится Кантор к аргументам Оригена и Фомы Аквината против существования актуальной бесконечности. Из Оригеновского труда “О началах” Кантор цитирует следующее место: “Рассмотрим начало твари, каким бы ни создал это начало Ум Творца Бога. Должно думать, что в этом начале Бог сотворил такое число разумных, или духовных, тварей (или как бы ни назвать те твари, которые мы наименовали выше умами), сколько, по его предвидению, могло быть достаточно. Несомненно, что Бог сотворил их, наперед определив у себя некоторое число их. Ведь не должно думать, что тварям нет конца, как это желают некоторые, потому что где нет конца, там нет и никакого познания и невозможно никакое описание. Если бы это было так, то Бог, конечно, не мог бы содержать сотворенное или управлять им, потому что бесконечное* по природе — непознаваемо. И Писание говорит: Бог сотворил все мерою и числом (Премудр. Сол., XI, 21), и, следовательно, число правильно прилагается к разумным существам или умам в том смысле, что их столько, сколько может распределить, управлять и содержать Божественный Промысел. Сообразно с этим нужно приложить меру и к материи, которая, — нужно веровать, — сотворена Богом в таком количестве, какое могло быть достаточно для украшения мира”[23]. В обозначенном звездочкой месте Кантор в скобках замечает: “Ориген всегда имеет в виду лишь Ґpeiron и говорит, что если бы божественная мощь была Ґpeiron, то Бог не мог бы познать самого себя”. Другими словами, Кантор признает, что для Оригена бесконечное понимается всегда как безграничное, т.е. как потенциальная бесконечность.

Из “Суммы теологии” Фомы Аквината Кантор цитирует следующее место: “1). Актуально бесконечного множества быть не может, поскольку всякое множество должно содержаться в каком-либо виде множеств. Но виды множеств соответствуют видам чисел, а ни один вид чисел не может быть бесконечным, поскольку всякое число есть множество, измеренное единицей [буквально: одним]. Следовательно, актуально бесконечное множество существовать не может, как само по себе, так и по совпадению. 2). Кроме того, всякое существующее в природе множество сотворено; всякая же сотворенная вещь понимается как одно из проявлений какого-то намерения Творца, ибо Создатель ничего не делает бесцельно. Следовательно, необходимо, чтобы всякая созданная вещь понималась как число. Поэтому существование актуально бесконечного множества невозможно даже “по совпадению”[24]. Фома утверждает: “Ни один вид чисел не может быть бесконечным”, т.е. его позиция, по существу, не отличается от аристотелевской. Однако канторовское отношение к Фоме (как и к Оригену) странным образом “более уважительное”, чем к Аристотелю. После приведенных цитат Кантор пишет: “Таковы два важнейших аргумента, выдвигавшиеся в течение веков против трансфинитного. Все другие высказывавшиеся доводы легко опровергнуть, заметив, что они основываются на ошибках в умозаключениях. Напротив, оба эти аргумента вполне обоснованы и их можно опровергнуть только положительным образом: показать и доказать, что трансфинитные числа и порядковые типы существуют в области возможного на том же основании, как и конечные числа, и что в трансфинитном имеетеся, в него в некотором роде укладывается даже значительно большее богатство форм и “species numerorum”, чем в относительно малую область ограниченного конечного. Поэтому трансфиниты отвечают намерениям Творца и его абсолютно неизмеримому могуществу в такой же мере, как и конечные числа[25]. Здесь все спорно и зыбко. То, что “трансфинитные числа существуют в области возможного, [а существование в области возможного означало для Кантора непротиворечивость соответствующего математического конструкта — В.К.] на том же основании, как и конечные числа”, — неверно. Непротиворечивость трансфинитных чисел лишь казалась Кантору очевидной. История развития теории множеств показала, что исследователей ожидали здесь сложнейшие апории. Во всяком случае, ко времени написания работы, из которой мы цитируем (1887), о непротиворечивости, как ее стали понимать в XX столетии, т.е. как о доказанном факте, речи еще не шло. Для Кантора непротиворечивость фактически означает здесь лишь существование некоторой математической конструкции, противоречий в которой еще не обнаружено. Что же касается оснований, на которых существуют конечные числа, то они более внушительны. И главное здесь — это не только их существование “в области возможного”, но и существование в области действительного: материальная реализация конечных множеств ( и операций с ними).

Кантор признает аргументы Фомы и Оригена “вполне обоснованными”. Однако, как мы уже отметили, обоснованность аргументов Фомы ничуть не больше, чем у Аристотеля, а последнего создатель теории множеств упрекал за то, что ему “был известен счет лишь на конечных множествах”. Что же касается оригеновских представлений, то тезис об ограниченности Божественного могущества отнюдь не столь обоснован и представляет собой в высшей степени нетрадиционную точку зрения для христианского богословия. Хотя античные традиции мысли и требовали понимать все определенное, как ограниченное, однако в том и состоял классический парадокс христианского богословия, что его предмет выходил за пределы форм мышления, созданных древнегреческой философией...

И наконец, мы опять встречаем здесь тот же канторовский аргумент: возражения против трансфинитных чисел, против актуальной бесконечности падают, мол, автоматически вместе с предъявлением новой математической конструкции. Однако это не так. Новая, чисто математическая теория не дает, вообще говоря, ничего для переосмысления античного понимания связи определенности формы и конечности. Нужны серьезные усилия философского ума, чтобы осознать философский смысл канторовских нововведений и, в частности, их соотношения с традиционным пониманием числа, укорененным в философии Древней Греции. Характерно также, что Ориген ссылается здесь на знаменитое место из Книги Премудрости Соломона, XI,21: “Ты все расположил мерою, числом и весом”, причем число понимается здесь в обычном смысле, как конечное число. Кантор, считавший, что его математическая теория “опровергла” традиционное понимание числа, должен был, в частности, переосмыслять подобные теологические интерпретации. Так оно и случилось исторически, как увидим мы это в дальнейшем.

4. Философия математики Г.Кантора

В этом разделе мы специально обсудим канторовскую философию математики. Несмотря на то, что выше уже приводилось немало цитат, прояснявших взгляды Кантора в этом отношении, все же его философия математики, — и философия науки, вообще, — представляет собой чрезвычайно важный для нашей темы комплекс взглядов, который необходимо обсудить отдельно. Эти взгляды интересны и сами по себе, но в особенности в связи с теорией множеств.

Если многие математики прошлого века (как, например, Кронекер) и настоящего не любили и боялись связывать математику и философию, то для Кантора, напротив, эта связь была как бы самоочевидной. Он высказывался по этому поводу постоянно, многоречиво и определенно. Так в 1884 году, отвечая на рецензию (положительную) его ранних работ по теории множеств французского математика Жюля Таннери, Кантор писал: “Я чувствую себя обязанным г-ну Таннери за то, что в различных местах его критического обзора он придает моим исследованиям философское и даже метафизическое значение; я рассматриваю это как похвалу и честь. Действительно я не принадлежу к числу тех, кто из-за различных неудач, постигших метафизику вследствие ошибок некоторых ее представителей, особенно в нынешнем и прошлом столетиях, невысоко ценит эту науку. Я считаю, что метафизика и математика по праву должны находиться во взаимосвязи и что в периоды их решающих успехов они находятся в братском единении. Затем, как показывала история до сих пор, к несчастью, между ними, обычно очень скоро, начинается ссора, которая длится в течение ряда поколений и которая может разрастись до того, что враждующие братья уже не знают, да и не хотят знать, что они всем обязаны друг другу”[26].

Нужда в философском обосновании математических построений проявилась в особенности в канторовской борьбе за легализацию его трансфинитных конструкций. Многие его работы, как мы уже отмечали, представляют собой смесь математических и философских параграфов, что , конечно, очень раздражало в большинстве своем позитивистски настроенную научную среду его (да и, наверно, любого) времени. Таковой является и работа “Основы общего учения о многообразиях” (1883), из которой мы уже приводили немало характерных цитат. В ней Кантор обсуждает также и основные пункты своей философии математики. Говоря о реальности чисел. Кантор отмечал, что понимает это в двух смыслах. Эти два смысла являются определяющими и в отношении любых идей (или общих понятий). Числа можно рассматривать, с одной стороны, как существующие в нашем рассудке, со всеми их соответствующими свойствами, как в себе, так и по отношению к другим понятиям. Такую реальность чисел Кантор называет интрасубъективной или имманентной реальностью[27]. Но, кроме того, числа можно рассматривать, поскольку они являются отображением “внешнего мира”, поскольку они выражают числовую определенность природы и ее процессов. Причем, что было для Кантора очень важно, он настойчиво подчеркивал определенность как через конечные, так и через бесконечные (трансфинитные) числа. Этот второй вид реальности чисел Кантор и называет транссубъективной или транзиентной реальностью. Как же соотносятся эти две реальности? “При вполне реалистической, но в то же время и не менее идеалистической основе моих размышлений для меня не подлежит никакому сомнению, что оба эти вида реальности всегда совпадают в том смысле, что какое-нибудь понятие, принимаемое за существующее в первом отношении, обладает в известных, даже бесконечно многих отношениях и транзиентной реальностью. Правда, установление этой последней по большей части принадлежит к самым трудным и утомительным задачам метафизики и часто должно быть оставлено до тех времен, когда естественное развитие одной из прочих наук раскроет транзиентное значение рассматриваемого понятия”[28]. Это по своему выраженное тождество мышления и бытия, как известно их истории философии, можно понимать разным образом. Как же понимает его Кантор? Он делает следующие пояснения к разбираемому месту: “Это убеждение в основном совпадает как с принципами платоновской системы, так и с одной существенной чертой системы Спинозы”. Для объяснения первого тезиса Кантор дает цитату из Целлеровской “Философии греков”: “Только познание при помощи понятий может доставлять (по Платону) истинное знание. Но поскольку нашим представлениям присуща истина — эту предпосылку Платон разделяет с другими (Парменид), — постольку предмету их должна быть присуща действительность, и наоборот. То, что можно познать, есть; того, чего нельзя познать, нет; и в той же мере, в какой нечто есть, оно и познаваемо”[29]. Что же касается Спинозы, то Кантор ссылается на теорему из “Этики”: “Порядок и связь идей суть те же, что и порядок и связь вещей” (Часть II. Теорема VII). Лейбниц, по мнению Кантора, также придерживался аналогичного теоретико-познавательного принципа. Лишь с развитием в новейшее время эмпиризма, сенсуализма и скептицизма и в особенности после разработки кантовской теории познания источник знания и достоверности стали искать в чувственном познании или в его априорных формах. “По моему убеждению, — пишет Кантор, — эти элементы вовсе не доставляют надежного познания, ибо последнее может быть получено лишь с помощью понятий и идей; внешний опыт может, самое большее, дать лишь толчок к созданию этих идей, по существу же они образуются при помощи внутренней индукции и дедукции, как нечто, что до известной степени уже лежало в нас и лишь было пробуждено и доведено до сознания”[30].

Высказывая все это, Кантор описывает свои философские убеждения, в которые с необходимостью входит определенный элемент веры. Для него не служит тайной, что как близкие, так и противоположные ему философские воззрения суть не результат некоторого научного вывода, а представляют собой конкурирующие в истории культуры философские программы, борющиеся за выживание с бесконечной изобретательностью. Кантор лишь описывает, таким образом, свои философские ориентации. Как ни различны сами по себе объективный идеализм Платона, пантеизм Спинозы и монадология Лейбница, для Кантора во всех них важно одно: обоснование “непостижимой эффективности”[31] математического знания. Связь имманентной и транзиентной реальности чисел и понятий служит базисом для существования науки вообще и математики в частности: “Эта связь обеих реальностей имеет свой собственный корень в единстве всего, к которому мы сами принадлежим. Указание на эту связь имеет здесь целью вывести отсюда одно важное, на мой взгляд, следствие для математики, а именно, что последняя при развитии своих идей должна считаться единственно лишь с имманентной реальностью своих понятий и поэтому не обязана вовсе проверять также их транзиентную реальность. В силу этого исключительного положения, отличающего ее от всех других наук и объясняющего сравнительную легкость и отсутствие принуждений в занятии ею, она заслуживает совершенно особенным образом имени свободной математики — название, которое будь мне предоставлен выбор, я дал бы охотнее, чем ставшее обычным наименование “чистая” математика”[32]. Математика, по Кантору, свободна в том смысле, что для законного введения математического понятия достаточно лишь его “легальности” внутри самой математики. Последнее означает, что: 1) понятие должно быть непротиворечивым, и 2) необходимо определить связи этого понятия с уже существующими математическими конструкциями. Этого достаточно. Как только это осуществлено, можно законно работать с этим понятием в математике, можно его изучать, развивать соответствующие теории. Никакие вопросы, связанные с обсуждением реальности этого понятия в физикалистском мире не касаются, по Кантору, собственно математической деятельности. В то же время в этой свободе нет никакой угрозы науке. Опыт математики, подчеркивает Кантор, показывает, что произвол в образовании понятий, который будто бы разрешается здесь, на самом деле ничтожен. Новый математический конструкт связан со всем корпусом математического знания. Если этот конструкт слишком искусственен, неплодотворен, то при работе математика это вскоре обнаруживается и его отбрасывают как непригодный. Гораздо большая опасность заключена, по Кантору, во всякого рода внешних ограничениях математическому творчеству. Если бы Гаусс, Коши, Абель, Якоби, Дирихле, Вейерштрасс, Эрмит и Риман должны бы были всегда подвергать свои новые математические идеи метафизическому контролю, то современная теория функции никогда не была бы построена. Созданная как свободное творение человеческого разума[33], эта теория через ее эффективное применение в механике и астрономии уже частично доказала свое транзиентное значение. Внешние ограничения математического творчества не имеют никакого основания в самой природе науки, настаивает Кантор. “Ведь сущность математики заключается именно в ее свободе”[34].

Эти взгляды удивительно перекликаются с господствующим самоощущением в сегодняшней математике. Математика в XX веке стала в высшей степени формальной наукой. Она занимается не исследованием природы, а исследованием формальных структур, которые она сама же и вводит[35] . Поэтому ее и нельзя относить к естествознанию. Но если сегодня это — господствующее мнение, то Кантору нужно было еще объяснять и доказывать эту точку зрения. Собственно Кантор, его теория множеств, вся его научная деятельность и были одним из решающих моментов, сформировавших подобную точку зрения. Но парадокс состоит в том, что именно Кантор и не “вкладывается” целиком в эту точку зрения. Провозглашая свободу математики от всякой метафизики, он в то же самое время посвятил десятки страниц именно метафизическому, естественнонаучному, философскому и даже богословскому оправданию теории множеств! Издателям его работ в математических журналах приходилось решать задачу: как уговорить Кантора убрать из его трудов философские рассуждения. Конечно, в этом сказывался и характер самой личности Кантора: волевой, целеустремленный, с неудержимым стремлением к успеху, настойчиво ищущий подтверждения своей точки зрения во всех доступных ему областях... Г.Мешковски, обсуждая эту парадоксальную судьбу канторовского научного наследия, писал: “К трагическим моментам этой, столь богатой разочарованиями жизни ученого, принадлежало и то, что сам Кантор твердо держался платоновских представлений на отношение математики к метафизике. Он не видел того, что как раз его исследования должны были послужить поводом к некому изменению характера математической мысли”[36].

Но помимо личных особенностей Кантора, “запечатлевших” научную судьбу теории множеств, есть и объективные причины, связанные с природой самой математики, которые неожиданно и выпукло выступили в дискуссиях о теории множеств. “Сущность математики заключается в ее свободе”. Однако как понимать саму свободу? Значит ли это высказывание, что математика может брать любую сколь угодно искусственную абстрактную конструкцию и изучать ее свойства? История математики показывает, что так никогда не было. Что связь математики и “жизни” гораздо теснее. Что все на первый взгляд столь далекие от эмпирии конструкции — и бесконечно малые дифференциалы Лейбница, и бесконечно удаленные точки Дезарга, и комплексные числа, и идеальные числа Куммера, и аппарат обобщенных функций, — были всегда либо прямым ответом на некоторые задачи “прикладной математики”, либо создавались специально, чтобы осмыслить некоторые уже “созревшие” внутриматематические проблемы. Никогда эти новые конструкции не брались, как говорится, “с потолка”, произвольно. Сам Кантор также считал, что сами условия математической деятельности “представляют лишь ничтожный простор произволу”[37]. Но весь вопрос в том и состоит — какой произвол считать еще ничтожным, а какой уже нет и, следовательно, считать недопустимым. Вся весомость этого вопроса обусловлена также и природой самой свободы. Что есть свобода? Или это есть голый произвол, или же так называемая положительная свобода, служение высшим ценностям? И если последнее, то где же здесь место собственно свободе как независимости, спонтанности, творчеству? Вопрос о природе свободы есть глубоко религиозный вопрос. Он прямо и состоит в том, насколько бытие человеческого духа независимо от всей природной детерминации и, следовательно, вопрос этот обращает внимание к тому, что находится вне природы, что низводит бытие последней до условного... Здесь возможны разные ответы и XX век продемонстрировал это во всей полноте: от традиционно христианских концепций свободы до агрессивно-атеистических (марксизм, сартризм). Сказав “сущность математики состоит в ее свободе”, Кантор volens nolens вызвал все эти “проклятые вопросы” о свободе, ставшей одним из главных — если не наиглавнейшим — предметом философского осмысления в XX столетии[38]. В этом смысле канторовская теория множеств по своему духу оказывается очень созвучной общекультурному модернистскому направлению, возникшему на рубеже XIX—XX веков и достигшему поры своей зрелости в период до II мировой войны (модернизм в искусстве, марксизм в социологии, фрейдизм в психологии и т.д.).

Но парадокс, повторяю, заключался в том, что, призывая к свободе математики, сам Кантор отнюдь не считал эту свободу абсолютной, и тщательно старался выявить связи математики с философией и богословием. В этом смысле математика конца XX века, руководствующаяся в основном чисто формалистским “уставом”, оказывается, конечно, беднее того ее образа, который вдохновлял творца теории множеств. Современная математика взяла у Кантора только формальное и поверхностное, оставив весь исходный платонистский пафос его теории за пределами науки...

Канторовское видение математики было богаче и... противоречивее. Призывая к “свободе математики”, он в то же время ориентировался на платонистские традиции в понимании науки. Однако платонизм не знает свободы, вообще говоря. Платонизм в математике есть видение (qewr…a), умозрение идеальных структур[39]. Это видение или дано, или нет. Мы привели выше немало цитат, в которых Кантор говорит об этих “органических единствах единиц”, представляющих умственный образ множества. Но речь идет постоянно о бесконечных множествах, когда это видение становится в высшей степени проблематичным. И тогда в дело вступает конструктивная часть разума. С помощью символов, аналогий, отрицаний разум старается овладеть своим предметом. Разум действует здесь как бы вслепую, как бы ощупью, надеясь только на свою внимательность и последовательность. Здесь как раз и проявляется свобода, настойчивая и изобретательная. Именно в этом ее сила и именно в этом ее соблазн... К этой двойственности Кантора мы вернемся еще позднее.

II. Классические проблемы теории множеств

Наиболее остро вопрос о границах научного знания возник в дискуссиях вокруг основных проблем теории множеств: континуум — гипотезы, проблемы обоснования аксиомы выбора, попыток преодоления так называемых “парадоксов” теории множеств. Здесь мы конкретно можем увидеть насколько трудны и порой непроходимы оказались те “дороги свободы”, которые предложила математике теория множеств Кантора. Рассмотрим эти вопросы ближе.

1. Проблема континуума и континуум-гипотеза

Проблема континуума задала одно из центральных направлений развития теории множеств, а континуум-гипотеза стала одной из наиболее привлекающих внимание математиков XX столетия задач. В списке важнейших математических проблем, представленных Д.Гильбертом в 1900 году на II Международном Конгрессе математиков в Париже, континуум-гипотеза стояла первой.

Канторовский подход к проблеме континуума, канторовская модель континуума как бы завершают то умственное движение, которое началось еще в XVII столетии с изобретением декартовской аналитической геометрии. Последняя выдвинула новый взгляд на геометрию. Вместо античного понимания этой науки, где созерцание играло принципиально неустранимую роль, Декарт предлагает некое исчисление отрезков, которое должно было в принципе решить все возможные геометрические задачи[40]. Но тем острее вставала задача арифметизации геометрического пространства, сведения его к чисто числовой конструкции. Возникающее также в XVII столетии дифференциальное и интегральное исчисление рассматривали геометрические конструкции в “бесконечно-малом”[41] и делали проблему арифметизации пространства еще более актуальной. Однако проблема эта не поддавалась рассмотрению почти три века. И только во второй половине XIX века появляются арифметические теории действительных чисел (Вейерштрасс, Дедекинд), существенно использующие актуальную бесконечность. Кантор, последовательно и настойчиво проводя программу сведения всей математики к теоретико-множественным конструкциям, завершает всю эту линию развития, обнаруживая вместе с тем и непреодолимые апории, к которым она приводит.

В вопросе о континууме Кантор был убежденным противником понимания его как некой данности, как некой априорной формы мышления (идеи ли, или в кантовском смысле, как априорной формы созерцания — безразлично). Кантору нужна была конструкция континуума; только она могла бы, с одной стороны, удовлетворить насущные нужды развивающейся математики, а с другой — вписаться в ту общефилософскую перспективу, в которой осознавал науку Кантор: понять — значит сконструировать. Поэтому создателя теории множеств не удовлетворяют концепции континуума у Аристотеля и Фомы Аквинского: обе они исходили из некой предзаданности идеи континуума, некого неразложимого созерцания. “Всякая арифметическая попытка определения этой тайны рассматривается как незаконное посягательство и с соответствующей энергией отвергается. Робкие натуры испытывают при этом впечатление, как если бы в вопросе о континууме речь шла не о математико-логическом понятии, а о каком-то религиозном догмате”[42]. Кантор не был робкой натурой и вопреки тысячелетней традиции старался дать конструктивную модель континуума. Конечно, его не могла также удовлетворить и атомистическая модель, восходящая еще к Эпикуру и Лукрецию. Ко времени возникновения теории множеств концепция конечных атомов как элементов пространства считалась анахронизмом.

Вопрос, согласно Кантору, мог ставиться только в терминах теории множеств: если в арифметическом пространстве n измерений задано некоторое множество Р, то при каком условии его можно назвать континуумом? Кантора вдохновляли на этом пути некоторые полученные им результаты по разложению точечных множеств. Во-первых, это была теорема о равномощности всех n-мерных пространств. Значит, как бы[43], все проблемы n-мерных множеств сводились к проблемам точечных множеств на прямой. Во-вторых, Кантор нашел некоторые множества, названные им совершенными, которые, казалось, выделяли существеннейшие свойства континуума. Примером канторовского совершенного множества может быть следующая конструкция:

Из сегмента [0; 1] на прямой мы выбрасываем среднюю треть: интервал (). Потом из оставшихся сегментов [0; ] и [ ; 1 ] мы также выбрасываем средние трети: интервалы ( ; ) и ( ; ). Далее из оставшихся сегментов мы опять выбрасываем средние трети и продолжаем этот процесс до бесконечности. То, что остается в результате[44], называется канторовским совершенным множеством. Непосредственно видно, что множество получается очень “разреженным”, на первый взгляд, кажется даже, что в нем вообще ничего не остается. Но в то же время очевидно, что точки 0, , , , -, например, войдут в предельное множество. Более того, оказывается, это предельное множество будет несчетным, и его мощность будет равна мощности континуума, т.е. мощности точек на исходном сегменте [0; 1]. Канторовское совершенное множество обладает, кроме того, еще тем замечательным свойством, что каждая его точка является так называемой точкой конденсации. Это означает, что в любой окрестности этой точки содержится бесконечное несчетное множество других точек этого же совершенного множества. Это свойство, по Кантору, должно было как бы представить теоретико-множественную модель “плотности” континуума.

Для полного же описания свойств континуума важно еще одно свойство: связность. Множество Т связно, по Кантору, если любые две его точки можно соединить ломанной с вершинами, также принадлежащими этому множеству и с длинами звеньев меньше любого наперед заданного числа. “По моему мнению, — пишет Кантор, — эти два предиката — “совершенный” и “связный” — представляют собой необходимые и достаточные признаки континуума, и поэтому я определяю точечный континуум в Gn [в арифметическом n-мерном пространстве — В.К.] как совершенное связное множество. Здесь “совершенный” и “связный” — не просто слова, а вполне общие предикаты континуума, понятийно охарактеризованные самым строгим образом при помощи предыдущих определений”[45]. Канторовские построения в теории точечных множеств оказали существенное влияние и на другие разделы математики, в частности топологию. Однако должно прямо признать, что:

1) канторовское определение континуума есть только некоторая частная модель континуума;

2) говоря о необходимых и достаточных признаках континуума, Кантор, вопреки своему желанию, признает, что имеет в виду некоторую интуицию континуума, вопрос о философском смысле которой остается открытым;

3) открытым, следовательно, остается и вопрос о соответствии интуиции континуума его конкретным моделям, в частности канторовской.

В этой же работе 1883 года “Основы общего учения о многообразиях”, из которой мы только что цитировали, Кантор объявляет, что надеется вскоре доказать, что мощность множества точек континуума в точности равна мощности так называемого второго числового класса. Это утверждение и называется континуум-гипотезой. По-другому это записывают обычно следующим образом:

2Àо = À1

Слева здесь стоит мощность стандартной числовой модели континуума, а À1 представляет собой первое кардинальное число, следующее за Àо — мощностью счетного множества.

Канторовские надежды на быстрое доказательство этого результата оказались несостоятельными. Более того, переписка Кантора показывает, какие титанические усилия прилагал он для решения проблемы и какие сокрушительные разочарования, взлеты и падения пришлось ему здесь пережить, переходя — временами лишь в течение одного месяца — от полной уверенности в доказанности результата к обнаружению ошибки в доказательстве и потом — к такой же полной уверенности в ложности континуум-гипотезы... Некоторые биографы считают, в частности, что именно перенапряжения и неудачи с доказательством континуум-гипотезы послужили причиной возникновения тяжелой психической болезни Кантора.

Как показала история, трудности с континуум-гипотезой имели достаточно объективную природу. В 1908 году Э.Цермело сумел сформулировать аксиоматику теории множеств, что позволило начать исследования оснований теории множеств с помощью параллельно развивающихся методов математической логики. В 1931 году К.Гедель доказал свою знаменитую теорему о неполноте, которая утверждала, что в любой достаточно богатой логической системе, содержащей, как минимум, элементарную арифметику, существуют утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть с помощью методов этой же системы. Возникло подозрение, что канторовская континуум-гипотеза является как раз подобным утверждением. В 1963 году П.Коэн доказал этот результат: было показано, что континуум-гипотеза независима от системы аксиом теории множеств Цермело-Френкеля. Другими словами, континуум гипотеза не может быть ни доказана, ни опровергнута в теории, опирающейся на эту систему аксиом. Коэн, вообще, склонялся к тому, что континуум-гипотеза, скорее всего, не верна. Дело в том, что À1 мощность второго числового класса представляет собой множество всех упорядочений счетного множества. Они получаются с помощью достаточно элементарных операций над ординальными числами применением так называемых первого и второго принципов порождения чисел (прибавления единицы и взятия пределов фундаментальных последовательностей). С другой стороны, мощность континуума 2Àо есть мощность достаточно богатого множества функций на Àо. Коэн пишет: “Таким образом, С [множество (и мощность) континуума — В.К.] больше, чем Àn, Àw, Àa, где a = Àw и т.д. С этой точки зрения, С рассматривается как невероятно большое множество, которое дано нам какой-то смелой новой аксиомой и к которому нельзя приблизиться путем какого бы то ни было постепенного процесса построения. Быть может, следующие поколения научатся яснее видеть эту проблему и выражаться о ней более красноречиво”[46]. Читая эти строки, невозможно не вспомнить о предшествовавших поколениях. Эта несводимость континуума к некоторой постепенной конструктивной процедуре, о которой говорит Коэн, как бы воскрешает античное и средневековое представление о континууме как неразложимой исходной данности, как о естественном пределе человеческой аналитической способности. Несмотря на дерзкое предприятие множества “неробких натур”, — и прежде всего самого создателя теории множеств Кантора, — представить континуум как некоторую аналитическую конструкцию, после целого века дискуссий наука как бы возвращается к исходной, впрочем, подтвержденной тысячелетним опытом размышлений, точке зрения. Наука как бы делает круг, еще раз подтверждая, что познание — это прерогатива не только науки, но и мудрости.

2. Аксиома выбора

Кантор страстно стремился доказать континуум-гипотезу. В случае, если бы это удалось сделать, была бы не только подтверждена эффективность методов новой теории множеств. Это доказательство служило бы оправданием и более принципиальной тезы: той философско-научной программы, сторонником которой считал себя Кантор. Тысячелетия континуум рассматривался как некая данность, как некое неразложимое далее a priori. Если бы удалось доказать континуум-гипотезу — или в ее исходной форме, или в более широкой, например,

2Àо = Àn

для какого-нибудь натурального n, то тогда континуум, непрерывное было как бы отождествлено с некоторым вполне упорядоченным множеством, было бы, так сказать, сложено из точек. Напомним, что вполне упорядоченным множеством называют упорядоченное множество, каждое подмножество которого имеет наименьший элемент[47]. Специальное выделение вполне упорядоченных множеств нужно было Кантору потому, что два вполне упорядоченных множества всегда можно сравнить между собой: отобразить одно на часть другого. Из этого следует сравнимость соответствующих этим множествам ординалов. А из последнего — и сравнимость соответствующих ординалам кардиналов, т.е. мощностей множеств. Значит, любые мощности — а значит, и мощность континуума, и алефы — сравнимы, если соответствующие им множества можно вполне упорядочить. Но как это сделать для конкретных множеств, вообще говоря, непонятно. В частности, одномерный континуум, например интервал действительных чисел (0; 1), взятых в их естественном упорядочении по величине, не является вполне упорядоченным множеством. Например, подмножество чисел <х< не имеет наименьшего элемента.

Множество рациональных чисел Q = в его естественном упорядочении по величине также не является вполне упорядоченным множеством. Но его можно упорядочить по-другому. Расположим все рациональные числа Q в следующую таблицу:

А теперь присвоим каждому рациональному числу номер, пересчитывая их “по диагоналям”: q1 = , q2 = , q3 = , q4 = , q5 = , q6 = ,... Заметим, что некоторые элементы таблицы придется пропускать, так как они уже встречались раньше. Так q5 = = 3, а не , потому что 1 уже встречалась в нашем ряду. Теперь определяем новый порядок так : qn < qm, если n < m. В этом новом упорядочении Q уже будет вполне упорядоченным множеством. Это нетрудно показать: всякому подмножеству из Q теперь соответствует некоторое подмножество натуральных чисел N, а именно —множество номеров, соответствующих q. Но в любом множестве номеров есть наименьший[48]. Тогда рациональное число с этим наименьшим номером и будет наименьшим в смысле нашего нового упорядочения.

В этом примере существенно то, что Q есть счетное множество, т.е. его можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с N. Таким же образом можно вполне упорядочить любое счетное множество. Но Кантор показал, что континуум есть несчетное множество. Поэтому для его упорядочения нужны были какие-то другие методы. Однако надежду на то, что множество всегда может быть вполне упорядочено, разделяли далеко не все. Так в 1903 г., когда теория множеств уже пользовалась достаточной популярностью, Б.Рассел заявлял: “Верно, Кантор считает законом мышления то, что всякое определенное множество может быть вполне упорядочено; однако я не вижу оснований для этого мнения”[49].

Нетрудно в свете этого понять, каким ударом для Кантора был доклад математика из Будапешта Ж.Кенига на III Международном Конгрессе математиков в Гейдельберге в 1904 году. Кениг утверждал, чтомощность континуума не равна никакому алефу. И тем самым, в частности, подрывалась вера в молчаливо принятую Кантором предпосылку, что любое множество может быть вполне упорядочено. А от этой предпосылки зависела, как мы уже говорили, сравнимость ординалов и мощностей, т.е. существование той шкалы “бесконечных чисел”, которая как бы и аккумулировала в себе весь научный и философский пафос теории множеств.

Но уже в том же 1904 году ученик Кантора Э.Цермело предложил доказательство теоремы о том, что любое множество может быть вполне упорядочено. Дискуссия перешла в новую фазу. В результате этой дискуссии в теореме Цермело был обнаружен слабый пункт. Доказательство опиралось на следующее положение: дано некоторое, вообще говоря, бесконечное множество множеств; существует функция, ставящая в соответствие каждому множеству определенный элемент этого же множества. Или, проще говоря, в бесконечном множестве множеств можно осуществить процедуру выбора в каждом из этих множеств одного элемента. При всей, казалось бы, очевидности этого положения с ним соглашались далеко не все. Резко против выступили, в частности, французские математики: Э.Борель, Р.Бэр, А.Лебег. Сомнения вызывали в основном два момента. Во-первых, если речь идет о бесконечной последовательности выбора элементов, то сразу встает вопрос о том, как это реализовать во времени; если же предполагать все выборы совершающимися одновременно, то опять здесь нужна какая-то поясняющая конструкция. Во-вторых, выбор одного элемента из произвольного множества представляет собой действительную логическую проблему. Если элементы никак не упорядочены, — а именно такова ситуация в теореме Цермело, где еще только строят упорядочение, — то они как бы и неразличимы и выделить какой-то один не представляется возможным.

В силу принципиальной важности этого положения для теории множеств оно получило название Аксиомы выбора (или аксиомы Цермело) и вошло в число семи аксиом теории множеств, предложенных также Цермело в 1908 году. Довольно быстро было обнаружено, что аксиома Цермело применяется в доказательстве многих положений как теории множеств, так и анализа. Так простейшие теоремы теории множеств, например:

— объединение счетного числа не более чем счетных множеств само не более чем счетно, или:

— всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество, уже требуют применения аксиомы выбора. Что касается математического анализа, то Ф.А.Медведев, например, указывает в классическом курсе математического анализа Г.М.Фихтенгольца большое количество теорем, зависящих от аксиомы выбора, среди которых такие важные, как:

— Теорема о непрерывной функции, принимающей значения разных знаков на концах промежутка;

— Лемма Больцано — Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности у ограниченной последовательности;

— Теорема Коши о конечных приращениях;

— Теорема Лопиталя о раскрытии неопределенностей и много других[50].

Аксиома выбора формулируется достаточно просто и логически кажется довольно естественным и не обещающим неожиданностей утверждением. Однако это впечатление обманчиво, с помощью аксиомы выбора строятся такие экстравагантные примеры, как множество Витали[51], неизмеримое, по Лебечу, или парадокс Банаха-Тарского. Дадим формулировку последнего: “Используя аксиому выбора, можно разбить шар на конечное число частей, которые можно переставить так, что получатся два шара такого же размера, как и исходный шар”[52]. То есть мы имеем в качестве следствий из аксиомы выбора такие положения, которые совершенно противоречат нашей интуиции пространства.

Вследствие, в частности, и такого рода парадоксов, основанных на аксиоме Цермело, “диапазон мнений математиков об этой аксиоме скандально широк”, — как пишет Ф.А.Медведев[53]. Д.Гильберт поддерживал использование аксиомы выбора в математике и считал, что она связана с фундаментальными логическими принципами математического мышления. А.Пуанкаре считал аксиому выбора одним из определяющих синтетических априорных суждений, которое невозможно доказать, но без которого трудно строить как конечную, так и бесконечную арифметику. Б.Рассел был более сдержан в оценке аксиомы: “Возможно, что она истинна, но это не очевидно, а ее следствия удивительны. При этих обстоятельствах мне кажется правильным воздержание от ее применений, за исключением тех рассуждений, которые дают надежду получить абсурд и таким образом дать отрицательное решение вопроса об истинности этой аксиомы”[54]. Русский математик Н.Н.Лузин резко отрицательно относился к использованию аксиомы выбора: “...Применять свободный выбор — это значит, по моему мнению, жонглировать соединениями пустых слов, смыслу которых не соответствует никакой интуитивно доступный факт”; “...Против нее [против аксиомы выбора — В.К.] говорит именно эта самая чрезвычайная легкость ее применения, немедленность даваемых ею ответов, так как математические сущности, сформированные при помощи ее, не крепки, не обладают устойчивостью, имея слишком расплывчатые, неопределенные свойства, чтобы практически служить затем точкой опоры для математических рассуждений, направленных уже на классические математические предметы. Напротив, образование математического предмета без аксиомы Цермело часто представляет чрезвычайные трудности, зато такой математический предмет, будучи построен, почти всегда имеет большую ценность для дальнейших изысканий”[55].

Благодаря работам Геделя (1939) и Коэна (1963) было установлено, что аксиома выбора не может быть ни доказана, ни опровергнута исходя из системы аксиом Цермело-Френкеля теории множеств. Сложилось тем самым положение, напоминающее ситуацию с пятым постулатом Евклида в геометрии. И как для последней независимость пятого постулата от других аксиом позволяла строить неевклидовы геометрии, так и в случае с аксиомой выбора — в силу ее независимости — были сделаны попытки построения нецермеловских теорий множеств (а на их основе — и всего здания математики) как без аксиомы выбора, так и с заменой ее на другую аксиому. В качестве примера последнего приведем формулировку аксиомы, альтернативной цермеловской, — так называемой аксиомы детерминированности: “Каждое множество А бесконечных последовательностей натуральных чисел определяет следующую бесконечную игру GA двух игроков. Игрок I пишет натуральное число no, игрок II отвечает тем, что пишет натуральное число n1, затем игрок I пишет n2, игрок II пишет n3, и т.д. Если получающаяся в результате игры последовательность no, n1, n2,... принадлежит множеству А, то выигравшим считается игрок I, в противном случае выигрывает игрок II. Игра GA называется детерминированной, если выигрывающую стратегию имеет либо игрок I, либо игрок II. Аксиома детерминированности утверждает, что для каждого такого множества последовательностей А игра GA является детерминированной[56]. Оказывается, с помощью полного упорядочивания множества всех последовательностей натуральных чисел можно построить игру, которая не будет детерминированной. Значит, аксиома детерминированности противоречит аксиоме выбора (в ее общем виде). Но, с другой стороны, аксиома детерминированности влечет аксиому выбора в счетном варианте и поэтому основные теоремы теории действительных чисел не изменяются. В математике с аксиомой детерминированности каждое множество действительных чисел измеримо по Лебегу и либо не более чем счетно, либо имеет мощность континуума.

Тем самым споры вокруг аксиомы выбора привели к построению альтернативных канторовской теорий множеств. Сделать между ними выбор в пользу какой-то одной, “более естественной, не представляется возможным. Во всяком случае, изнутри математики... “Аргументированный выбор между аксиомой выбора и аксиомой детерминированности, — пишет Кановей, — возможен, вероятно, только путем сравнения красоты и богатства теорий, построенных на этих аксиомах, а также сравнения согласованности следствий АС [аксиомы выбора — В.К. ] и АD [аксиомы детерминированности — В.К.] со складывающейся математической интуицией”[57].

3. Парадоксы. Шкала мощностей как “лестница на небо”

Мы помним, сколь свободным понимал Кантор математическое творчество. Математика в своем развитии не связана никакими внешними условиями. Сущность математики — свобода. Единственное внутреннее требование к математическим конструкциям — быть логически непротиворечивыми. Математик может в своей работе не заботиться ни о прикладном значении его теорий, ни об общефилософском. Теория должна быть лишь логически состоятельной — это необходимо и достаточно для того, чтобы она вошла в корпус математического знания. Выше мы видели, что собственное “поведение” Кантора в науке, в математике было парадоксальным образом прямо противоположное. Кантор все время в высшей степени обеспокоен согласованием выводов теории множеств с традициями естествознания, философии, богословия. Утверждение теории множеств как научной дисциплины, легализация ее новых — уместно применить затертое, но здесь как раз адекватное слово — революционных методов рассуждений было связано с изменением самой философии науки, философии познания. Мы видели, как сознательно относился Кантор к этому “внешнему” аспекту теории множеств и сколько было потрачено усилий на утверждение теории множеств и в общефилософском контексте. И тем не менее пафос свободы математического знания был основным философским постулатом канторовского творчества. Математика, в этом смысле, должна рассчитывать только на саму себя, на собственные внутренние методы самоконтроля: прежде всего на доказательство чисто логической состоятельности своих понятий и теорий. Должна рассчитывать и вполне может осуществить это — считал создатель теории множеств.

На фоне этих представлений понятно, какой неприятностью были для Кантора возникшие на почве самой теории множеств так называемые парадоксы. В 1897 году Бурали-Форти опубликовал первый из них. Речь в нем идет о множестве W всех порядковых чисел. Согласно конструкциям Кантора, это множество вполне упорядочено и, следовательно, оно должно иметь соответствующий порядковый тип b. Этот тип должен быть больше, чем все типы, содержащиеся в W. Однако, по условию W есть объединение всех порядковых типов, т.е. b тоже входит в W. И мы тем самым приходим к противоречию: b>b. Бурали-Форти делал из этого парадокса тот вывод, что канторовская теорема о сравнимости любых ординалов неверна. И тогда падало также утверждение и о сравнимости любых кардиналов (мощностей).

Еще более серьезным был парадокс Рассела, показывавший логические опасности, скрытые в наивном понимании множества. Анализируя канторовскую теорему о так называемом “множестве — степени”[58], Рассел выделил понятие “множества, которое не является элементом самого себя”. Например, множество всех множеств не будет таким множеством, а множество натуральных чисел является множеством, не совпадающим ни с каким своим элементом. Если мы рассмотрим множество М всех множеств, не являющихся элементами самого себя, то мы не сможем ни отрицательно, ни утвердительно ответить на вопрос: будет ли оно само множеством того же типа, что и его элементы, т.е. множеством, не содержащим самого себя в качестве элемента. Если мы ответим утвердительно, отсюда следует, что М как содержащее все множества, не являющееся собственным элементом, должно содержать и себя, что противоречит предположению. Если же мы ответим отрицательно, т.е. М не является множеством, не содержащим себя в качестве элемента, тогда значит М содержит себя в качестве своего элемента, но все элементы М суть множества, не содержащие себя в качестве своего элемента, т.е. мы опять получаем противоречие. На основании подобных размышлений Рассел сформулировал определение предикативных и непредикативных свойств множеств. Только первые могут действительно определять множества; использование же вторых ведет к парадоксам. Эти наблюдения воплотились в дальнейшем в так называемую теорию типов, которую Рассел развивал совместно с Уайтхедом.

Нас, однако, интересует здесь позиция самого Кантора. К 1899 году он уже формулирует некое определение, чтобы уйти от парадоксов, связанных, так сказать, с “очень большими” множествами, вроде множества всех множеств и т.д. В переписке с Дедекиндом Кантор пишет: “Если мы исходим из понятия определенной множественности <Vielheit> (системы, совокупности) вещей, то мне представляется необходимым различать множественности двоякого рода (речь идет всегда об определенных множественностях). А именно, множественность может обладать тем свойством, что допущение “совместного бытия” всех ее элементов приводит к противоречию, так что эту множественность нельзя рассматривать как единство, как “некую завершенную вещь”. Такие множественности я называю абсолютно бесконечными или неконсистентными множественностями. Как легко убедиться, “совокупность всего мыслимого”, например, является подобной множественностью; далее появятся и другие примеры. Напротив, если совокупность элементов некоторой множественности можно без противоречия мыслить как совокупность “совместно существующих” элементов, так что возможно их объединение в “единую вещь”, то я называю ее консистентной совокупностью или “множеством” <Menge> (на французском и итальянском языках это понятие подходяще выражается словами “ensemble” и “insieme”)”[59]. Как видим, по сравнению с исходными понятиями теории множеств все становится уже много сложнее. Прежде всего различаются множество (Menge) и множественность (Vielheit). Если всякое множество есть одновременно и множественность, то обратное уже неверно. Проблема состоит в том, что исходно Кантор понимал трансфинитное множество как актуально-бесконечное множество, мыслимое как целое, и считал это достаточно самоочевидным понятием. Теперь же оказывается, что есть множественности, которые невозможно без противоречия мыслить как целое. Но как же отличить одно от другого? То, что некоторые множества уже в своем определении несут противоречие, например “совокупность всего мыслимого”[60], о которой говорит Кантор, или множество всех множеств, которые не являются собственным элементом, которые фигурируют в парадоксе Рассела, — это понятно и на основании этого их можно, положим, исключить из рассмотрения в теории множеств. Однако как доказать про другие, так сказать “обычные” и “легальные” актуально бесконечные множества, что их можно “без противоречия мыслить как совокупность совместно существующих элементов”, что возможно их объединение в “единую вещь”?... Кантор не дает на это ответа. А ведь это — принципиальный вопрос, лежащий в самом основании всей теории. Мы возвращаемся опять к самому ее фундаменту: а возможно ли вообще мыслить бесконечное как единую вещь? Существует ли хоть одна консистентная множественность?..

Дедекинд сразу почувствовал это и, вероятно[61], в своем письме спросил о положительном критерии консистентности. Кантор отвечал формально и неубедительно: “...Можно поднять вопрос: откуда же я знаю, что вполне упорядоченные множественности или последовательности, которым я приписываю кардинальные числа

Ào, À1, ..., Àwo, ..., Àw1, ...

действительно являются “множествами, в объясненном смысле этого слова, т.е. “консистентными множественностями”? Нельзя ли вообразить, что неконсистентными окажутся уже эти множественности и что противоречивость предположения о “совместном бытии всех их элементов” осталась еще незамеченной? Мой ответ на это состоит в том, что указанный вопрос относится и к конечным множественностям и что точное размышление приводит к такому результату: даже для конечных множественностей нельзя осуществить “доказательство” их “консистентности”. Другими словами, факт “консистентности” конечных множественностей является простой недоказуемой истиной — это “аксиома арифметики” (в старом смысле слова). Равным образом, “консистентность” множественностей, которым я приписываю алефы в качестве кардинальных чисел, является “аксиомой обобщенной трансфинитной арифметики”[62]. Мы уже встречались с подобным ходом мысли создателя теории множеств, когда говорили об интуитивной представимости чисел (конечных и бесконечных). И здесь мы можем повторить наши прежние аргументы. Консистентность конечных чисел мы можем отчасти “доказать”: малых чисел — рассматривая материальные множества, соответствующего количества, больших чисел — моделируя их на компьютере. И в последнем случае сегодня открываются многообещающие перспективы. Однако доказать консистентность любого, даже самого малого, актуально бесконечного множества, имеющего мощность Ào, не представляется никакой возможности. Принятие же этого существования за аксиому[63] сразу делает всю теорию в высшей степени формальной. Все становится зыбким и гадательным...

Эта зыбкая трясина произвольных предположений, связанных с понятием консистентности, чувствуется и еще в одном моменте. Кантор говорит: “Речь идет всегда об определенных множественностях” (С. 35). Но, как оказывается, такая “определенная множественность” может оказаться и неконсистентной. Например, “совокупность всего мыслимого”. Но можно ли неконсистентную множественность считать определенной? Можно ли считать определенной “совокупность всего мыслимого”?.. Кантор явно так считает. Неконсистентные множественности можно даже сравнивать между собой: “Две эквивалентные совокупности или обе являются “множествами” или обе “неконсистентны””[64]. С некоторыми неконсистентными множественностями, может быть, и можно установить эквивалентности, но как, например, осуществить это с “совокупностью всего мыслимого”? То есть здесь также требуются какие-то дальнейшие условия и подразделения. Можно, конечно, опять поступить формально и ввести некоторую аксиому. Однако, вводя аксиомы в область столь “неoпознанных объектов”, мы рискуем получить противоречивую систему. Противоречивость которой надо ведь тоже еще обнаружить и доказать...

Понятие неконсистентности нужно Кантору для положительных целей. А именно, система W всех ординальных чисел объявляется неконсистентной системой, т.е. ее нельзя рассматривать как единое целое. Иначе получается парадокс Бурали-Форти: если бы можно было рассматривать W как единое целое, то она имела бы порядковый тип d, откуда следовало бы, что d>d. Понятие неконсистентности спасает от парадокса Бурали-Форти и дает возможность существовать школе трансфинитных чисел W. Последняя должна для этого быть неконсистентной или абсолютно бесконечной множественностью, как называет ее по-другому Кантор. Аналогично обстоит дело и со шкалой мощностей (кардинальных чисел) или алефов. Последняя строится, исходя из шкалы W. Шкала эта есть последовательность

порядковых типов вполне упорядоченных множеств. Некоторые “интервалы” этой шкалы представляют множества одной и той же мощности. Например, если wo, есть порядковый тип счетного множества чисел

N = {0,1,2,...,n,...},

то ординальные типы

wo + 1, wo + 2, wo + 3,..., 2 wo,..., nwo,...

все соответствуют множествам также счетным, т.е. имеющим мощностью все то же первое трансфинитное кардинальное число Ào. Но существует первый порядковый тип w1, который соответствует множеству уже большей мощности À1. Все порядковые числа a такие, что

w0 £ a < w1

Кантор обозначает Z (À). Аналогично рассматривается класс Z (À) , порядковых чисел b, таких, что

w1 £ b < w2,

где w2 — наименьшее порядковое число, которое соответствует множеству, кардинальное число которого отлично от À0 и À1. Это новое кардинальное число обозначаем через À2 и т.д. Получается канторовская шкала мощностей, шкала алефов:

À0, À1, ... Àw0, Àw+1..., Àw1, ...

Кантор обозначает ее буквой t (“тау” — последняя буква древнееврейского алфавита). Поскольку индексы всех алефов представляют собой все элементы шкалы W, то шкала алефов подобна (в смысле теории множеств) шкале W, и так же, как последняя, представляет собой неконсистентную абсолютно бесконечную последовательность. Кантор задает вопрос: все ли кардинальные числа наличны в этой шкале? Или, другими словами, существует ли множество, мощность которого не является алефом? Ответ отрицательный в том смысле, что если взять множество V, которому не соответствует никакой алеф в качестве мощности, то тогда V должно быть неконсистентной множественностью. Кантор набрасывает и вариант доказательства, использующего неконсистентность W. Доказательство это, впрочем, неверно[65]. И главная слабость его — в смутности понятия неконсистентного множества.

Утверждение о том, что система алефов представляет все возможные мощности, необходимо Кантору для того, чтобы утверждать сравнимость любых мощностей. Ведь все алефы сравнимы между собой и, если все кардиналы исчерпаны рядом , тогда можно утверждать, что для любых мощностей и имеет место только одно из трех соотношений:

>

<

=

Впрочем, в другом письме к Дедекинду Кантор признается , что доказательство это “косвенное”, и желательно было бы иметь более прямое[66], т.е. более конструктивное, связанное с конкретным построением соответствия элементов двух множеств.

Заключая рассуждение о шкалах W и Кантор пишет: “...Все множества “перечислимы” <abzahlbar> в некотором расширенном смысле, в частности “перечислимы” все “континуумы”[67]. Эту “перечислимость” можно понимать двояко. Во-первых, эти множества все, так сказать, “каталогизированы” согласно своим мощностям, и про любые два из них известно, какое из них больше”. И, во-вторых, каждому кардиналу соответствует целый класс Z ( ) порядковых чисел, представляющих собой символы всех возможных упорядочений данного множества мощности [68]. Другими словами, любое сколь угодно большое бесконечное множество может быть, так сказать, сложено из единиц с помощью трех канторовских принципов построения трансфинитных чисел: добавление единицы, взятие пределов и так называемого принципа ограничения[69]. В частности, так должно получаться и множество, представляющее континуум, поскольку его мощность также находится в числе алефов[70].

Итак, утверждая неконсистентность шкалы всех ординалов, Кантор получал и сравнимость всех мощностей, и доказательство континуум-гипотезы. Есть еще один аспект понятия неконсистентности, напрямую связанный с канторовскими философско-богословскими представлениями. На этот момент обращает внимание в своей книге о Канторе Дж.Даубен. Он задает вопрос: почему Кантора, в отличие от других (например, Бурали-Форти), не пугала и не отталкивала неконсистентность W? Даубен обращает внимание на то, что канторовское представление об Абсолюте как бесконечности Бога и неконсистентность W обладают сходными чертами[71]. Говоря о божественной бесконечности, создатель теории множеств подчеркивал, что эта бесконечность неизменяема, ее нельзя ни увеличить, ни уменьшить. И следовательно, она математически неопределима[72]. Но также неопределима и шкала трансфинитных чисел: добавление к ней невозможно в силу ее неконсистентности, отнятие же любого конечного отрезка не изменяет мощности больших трансфинитных чисел. Сам Кантор видел в шкале трансфинитных чисел некоторый символ вечности и приводил строку из стихотворения швейцарского натуралиста и поэта XVIII века Альбрехта фон Галера: “я его (чудовищно огромное число) отнимаю, а ты (вечность) лежишь целая передо мной”[73]. Религиозно-мистические импликации были для Кантора устойчивым фоном его научной деятельности. Кантор понимал свою профессиональную деятельность одновременно и как выполнение определенной религиозной миссии — донести до человечества истину о трансфинитных числах, содержащихся в уме Бога. Даубен утверждает и нечто большее: “В конце концов, Кантор рассматривал трансфинитные числа как ведущие прямо к Абсолюту, к единственной “истинной бесконечности”, величину которой невозможно ни увеличить, ни уменьшить, а только представить как абсолютный максимум, непостижимый в пределах человеческого понимания”[74]. Шкала трансфинитных чисел оказывается в этом смысле своеобразной лестницей на небо, лестницей, ведущей к самому Абсолюту...

Именно поэтому, считает Даубен, Кантора и не смущали появляющиеся парадоксы теории множеств. Ведь речь шла о божественной Истине, во всей полноте понятной только божественному Уму. Для человеческого же ума, пытающегося схватить эту божественную бесконечность, неизбежно было впадать в противоречия и антиномии...

Однако — спросим мы со своей стороны — как же быть тогда с основным канторовским критерием математики — логической непротиворечивостью? Если божественная Истина того порядка, что была открыта в теории множеств, неизбежно оборачивается для человеческого ума противоречием, тогда нужно или отказаться от непротиворечивости как необходимого момента нашего знания, — и тогда непонятно, как же конкретно мы будем строить науку, — или, может быть, отказаться от претензий на обладание этим знанием, неизбежно сопряженным с противоречиями, т.е. выбрать ту позицию, которая традиционно была господствующей в европейской науке и философии от их античного истока до XIX века включительно. Но и в последнем случае остается вопрос о том, как проводить эту границу между человеческими и сверхчеловеческим в знании. Должна ли она проходить по разделу: конечное — бесконечное, или же в сферу доступного человеческому разуму должно входить и какое-то “не очень большое” бесконечное[75]? И если все-таки Кантор прав, в том смысле, что “к нашей конечной природе прилипло много от бесконечного”[76], то от чего зависит, сколько прилипло? Ведь сама история науки показывает, что для разных людей степень постижения бесконечности, — пусть, например, в форме теории множеств, — степень уверенности в адекватности этого знания, этого направления науки различны. Естественно напрашивающийся ответ на этот вопрос, в духе канторовского понимания религиозной стороны теории множеств, следующий. Поскольку постижение бесконечности есть постижение Божественной бесконечности, то оно есть, следовательно, познание Бога, приближение к Нему, вхождение в божественный Разум. Поэтому степень понимания есть степень близости к Богу. Именно степенью близости отдельного человеческого ума к Богу измеряется здесь возможность понимания.

Близость же человеческого ума к божественному Логосу понимается на Западе и на Востоке (т.е. в христианских культурах, генетически связанных с Византией) по-разному. На Востоке “вхождение в Разум Истины” рассматривается обычно как невозможное без глубокой духовной трансформации всего человека. Разум мыслится здесь не как отдельная способность, а как способность, существенно определенная уровнем духовной жизни человека, его верой. Поэтому высоты гносиса доступны только нравственно чистым и благочестивым людям. Кантор же принадлежал к другой традиции. Из средневековой схоластики вырастает представление о самосущности человеческого разума, о его независимости от веры и духовной жизни. Согласно этому представлению, разум в богословии только используется, так же, как он может использоваться и в секулярной науке; сам же он автономен от веры и сущностно не изменяем. Из этого представления об автономном разуме и рождается постепенно секулярная философия и наука.

Отзвуки этого ясно слышатся в канторовском пафосе свободы математики, независимости ее от других сфер познания и культуры. Что означает эта независимость? Она означает, что, вообще говоря, познание есть дело чисто цеховое, дело профессионалов и мастеров и не требует для себя всего человека, не зависит от духовной и нравственной жизни человека. Несмотря на множество канторовских рассуждений о зависимости науки от метафизики и теологии[77], тем не менее утверждение свободы математики было для Кантора очень неслучайным. Именно через математику он надеялся обрести наиболее глубинный гнозис. Ведь именно исходя из математики, из теории множеств дает он критику традиционного богословского понимания Библии[78]. Лицемерил ли Кантор в переписке с богословами, подтверждая зависимость науки от теологии? Конечно, нет. Но это были лишь убеждения ума; а наклонности сердца были глубже, сильнее и противоречивее...

Научное познание всегда символично. Наука работает не с самим предметом познания, а с его схемой, его символом. Не исключение здесь и математика. Об этом, как мы помним, говорил и сам Кантор[79]. Уже большие числа мы не способны “представить” непосредственно и вынуждены прибегать к разного рода символам. Таким символом является, например, запись числа в какой-то (например, десятичной) системе счисления. Тем более трансфинитные канторовские числа есть лишь символы некоторых подразумеваемых реальностей: различных типов бесконечности. Символическое познание всегда неадекватно. Ведь мы берем в качестве знаков обычно нечто близкое и понятное нам и должны с помощью него выразить нечто иное, как правило, более отдаленное и сложное. В этом смысле канторовская полная шкала трансфинитных чисел , эта “лестница на небо”, лестница от человеческого ума к божественному Логосу представляет собой титаническую попытку чисто символически исчерпать бесконечность Абсолютного, бесконечность Бога. Выразить высшее через низшее...

Трудно все-таки представить, что Кантор, занимаясь построением своей математической теории, действительно претендовал на адекватное познание Божества (пусть и, так сказать, одностороннее или, если угодно, “количественное”). Однако сохранившиеся документы говорят именно об этом. Так, освободившись в очередной раз из психиатрической клиники в Галле в 1908 году, Кантор написал письмо своему английскому корреспонденту математику Г.Ч.Янгу. В этом письме он говорит, в частности, о невозможности существования некого высшего трансфинитного числа, Genus supremum[80], точнее, о совершенно особом способе его существования : “Я никогда не исходил из какого-либо “Genus supremum” актуальной бесконечности. Совсем наоборот, я строго доказал абсолютное несуществование “Genus supremum” для актуальной бесконечности. То, что превосходит все конечное и трансфинитное, не есть “Genus”; это есть единственное, в высшей степени индивидуальное единство, в которое включено все, которое включает “Абсолютное”, непостижимое для человеческого понимания. Это есть “Actus Purissimus”[81], которое многими называется Богом”[82]. Шкала возрастающих трансфинитных чисел, как считал Кантор, как раз и ведет к этому Actus Purissimus, Высшему Бытию, на “профаном” языке называемому Богом[83]...

Вместе с тем потерпела крушение одна из основных интенций теории множеств. Кантор с самого начала стремился преодолеть потенциальность роста, “дурную бесконечность” потенциальной бесконечности, стремился утвердить рассмотрение бесконечного как актуальной данности. Но, в конце концов, это оказалось в принципе невозможным. “Теория множеств, — писал чешский математик П.Вопенка, — усилия которой были направлены на актуализацию потенциальной бесконечности, оказалось неспособной потенциальность устранить, а только смогла переместить ее в более высокую сферу”[84].

III. Границы науки

1. Бесконечное в философии математики И.Канта

Математические конструкции теории множеств, как бы стремящиеся “дотянуться” до Абсолютного, до Бога, забрасывающие в пучину трансфинитного “якоря” новых аксиом, с фанатичной надеждой на то, что это позволит зацепиться за что-то твердое, производят впечатление чего-то титанического, или, используя классический библейский образ, впечатление Вавилонской башни, возводимой уже чисто теоретическими средствами. Мы говорили уже о возрожденческом духе, веящим со страниц канторовских произведений, в том его особом воплощении конца XIX — начала XX веков, которое получило название модернизма. Здесь существенной была вера в науку, в торжество человеческого разума, способного решить все проблемы, преодолеть сопротивление любой иррациональности. Канторовские теоретико-множественные построения стоят в этом смысле в одном ряду с конструктивным пониманием живописи, архитектуры, поэзии, музыки, с утопиями социализма, евгеникой, и т.д.[85]. Рационализм XVII—XVIII веков как бы переживал здесь свое новое рождение, однако в таких масштабах и с такой принудительностью, что приходится говорить о демоническом рационализме. Неслучайна была и связь Кантора с Лейбницем. Не только допущение Лейбницем существования актуальной бесконечности было объединяющим началом здесь, но и общая глубокая убежденность в мощи человеческого разума. Кантор хотел “рассыпать” в точки континуум, и с помощью теории множеств чисто формально “сложить” опять из этих точек все физические, химические и биологические структуры. Лейбниц следующим образом описывал перспективы применения своего универсального алгоритма, “универсальной характеристики”: “Я думаю, что несколько специально подобранных людей смогли бы завершить дело [построение всей системы естествознания! — В.К.] в пределах пяти лет; а учения более близкие к жизни, т.е. доктрину моральную и метафизическую, полученную посредством неопровержимого исчисления, они смогли бы представить в течение двух лет”[86].

Неслучайным было и отталкивание Кантора от Канта. Кант был тем мыслителем, в котором новоевропейская наука начала осознавать свою специфику и, следовательно, свои границы. Научный позитивизм XIX века, с которым столь яростно сражался Кантор, во многом питался кантовскими интенциями. Математика, по Канту, строится на базе априорных форм человеческой чувственности: пространства и времени. Последние же характерно конечны, что пресекает возможность создания каких-либо трансфинитных объектов. Так число определяется Кантом в рамках его учения о схематизме рассудочных понятий. “Чистая же схема количества (quantitatis) как понятия рассудка, — пишет Кант, — есть число — представление, объединяющее последовательное прибавление единицы к единице (однородной). Число, таким образом, есть не что иное, как единство синтеза многообразного [содержания] однородного созерцания вообще, возникающее благодаря тому, что я произвожу само время в схватывании созерцания”[87]. Кант явно пишет о невозможности бесконечного числа: “...Понятие числа (относящегося к категории целокупности) не всегда возможно там, где даны понятия множества и единства (например, в представлении бесконечного)”[88].

При обсуждении так называемых антиномий чистого разума можно особенно наглядно убедиться, какую решающую роль играет конечность человеческих познавательных способностей у Канта. Так в доказательстве тезиса первой антиномии, точнее, положения о том, что мир ограничен в пространстве, Кант рассуждает следующим образом: “...Допустим опять противоположное утверждение, что мир есть бесконечное данное целое из одновременно существующих вещей. Но размер такого количества, которое не дается в определенных границах того или иного созерцания, мы можем представить себе не иначе как только посредством синтеза частей, и целокупность такого количества — только посредством законченного синтеза или посредством повторного прибавления единицы к самой себе”[89]. Здесь Кант делает примечание: “Понятие целокупности обозначает в таком случае не что иное, как представление о законченном синтезе его частей. В самом деле, так как мы не можем вывести это понятие из (невозможного в этом случае) созерцания целого, то мы можем постичь это понятие, по крайней мере в идее, только посредством синтеза частей, продолжающегося до завершения бесконечного”[90]. Другими словами, актуально бесконечное целое мира не может быть дано целиком, к нему можно только приближаться последовательно, “по конечным частям”. Но это бесконечное перечисление конечных частей требует бесконечного же и времени: “...пришлось бы рассматривать бесконечное время при перечислении всех сосуществующих вещей как прошедшее, что невозможно”[91]. Кант допускает тем самым только потенциальную бесконечность. В Примечании к тезису этой антиномии он пишет: “Истинное (трансцендентальное) понятие бесконечности заключается в том, что последовательный синтез единицы при измерении количества никогда не может быть закончен”[92]. Выражаясь канторовским языком, можно сказать, что Кант допускает только первый принцип образования чисел, т.е. переход от n к (п + 1), но не разрешает второй принцип, с помощью которого, в частности, Кантор делает переход от конечных чисел к W — первому трансфинитному числу. В девятом разделе Антиномий чистого разума, говоря о регулятивном применении космологических идей чистого разума, Кант высказывается еще осторожней: “...Я не могу сказать, что мир в отношении прошедшего времени или пространственно бесконечен. Такое понятие величины как данной бесконечности эмпирически ведь невозможно, стало быть, оно безусловно невозможно в отношении мира как предмета чувств. Я не могу также сказать, что регресс от данного восприятия ко всему тому, чем оно ограничивается в ряду в пространстве и в прошедшем времени, идет в бесконечность: такое утверждение предполагает бесконечную величину мира. Я не могу также утверждать, что этот регресс конечен, так как абсолютная граница также эмпирически невозможна. Таким образом, я ничего не могу сказать обо всем предмете опыта в целом (о чувственно воспринимаемом мире), а могу говорить только о правиле, по которому следует приобретать и продолжать опыт соответственно его предмету”[93]. Эту ситуацию Кантор характеризует названием regressus in indefinitum (в отличии от regressus in infinitum). Все упирается в то, что математические истины, по Канту, должны быть показаны в созерцании (чистом), а бесконечное созерцание для человека невозможно.

Аналогично, обсуждая решение второй математической антиномии, где речь идет о делении целого на части (“сложной субстанции на простые части”), Кант опять опирается на то, что несмотря на стремление разума рассматривать это деление в терминах одних понятий, рассудок должен всегда помнить, что все опытно данное, дано ему необходимо в рамках априорных форм чувственности, т.е. пространства и времени. Но все данное как предмет в пространстве бесконечно делимо, так как делимо само пространство. “Всякое созерцаемое в своих границах пространство есть такое целое, части которого при всяком разложении в свою очередь все еще представляют собой пространства, и потому оно делимо до бесконечности”[94]. Однако это деление или регресс от обусловленного к условиям, как выражается сам Кант, идет в этом случае не in indefinitum, a in infinitum. Причина этого в том, “что условия (части) содержатся в самом обусловленном и даны все вместе с ним, так как оно целиком дано в созерцании, заключенном в его границы”[95]. Что же? Можно ли в этом случае сказать, что сложное представляет собой актуально бесконечное количество получающихся в результате деления частей? Этот вопрос напрямую связан с вопросом о структуре континуума. Если мы, например, имеем отрезок прямой, то можно ли на основе того, что отрезок можно последовательно сколь угодно делить на все более мелкие части, сказать, что он сложен из некого бесконечного множества точек? Хотя Кант и считает, что деление здесь (в отличие от положения в первой антиномии) идет in infinitum, тем не менее его ответ отрицательный: “...О целом, делимом до бесконечности, нельзя сказать, что оно состоит из бесконечного множества частей. В самом деле, хотя все части содержатся в содержании целого, однако в нем не содержится все деление, состоящее лишь в продолжающемся разложении или самом регрессе, который единственно и делает ряд действительным. Так как этот регресс бесконечен, то в данном целом, правда, содержатся как агрегаты все члены (части), до которых доходит регресс, однако не весь ряд деления, который последовательно бесконечен и никогда не есть целый ряд, следовательно, не может показывать бесконечного множества частей и собирания их в одно целое”[96].

Кантовская математика есть существенно человеческое предприятие. Считать во времени и созерцать фигуры в пространстве может только человек. Богу не нужен счет и обусловленное временем созерцание: он видит все количества и структуры разом и непосредственно. Человек же в силу особенностей априорных форм своей чувственности неспособен созерцать бесконечное. Однако, поскольку у Канта вся конечность математики непосредственно связана с созерцанием, то, на первый взгляд, в высшей степени формальная современная математика, оперирующая постоянно с абстрактными аксиоматическими конструкциями, уже не подвластна тем ограничениям, о которых говорил создатель трансцендентальной философии. Аналогично и в современной физике: квантовая механика, теория относительности и современные теории элементарных частиц очень далеки от всякого непосредственного созерцания: предмет сегодняшней физики дается ученому опосредованным сложными теориями, в частности воплощенными в хитроумнейшей экспериментальной технике. Говорить об эмпирическом созерцании здесь уже невозможно. Но все-таки кантовские представления относительно чистого созерцания во многом остаются в силе. В частности, остается принципиальный вопрос, существенный для философского осмысления теории множеств: есть ли число, действительно, кантовский синтез однородной множественности во времени или же его можно мыслить как-то по-другому, не связывая со временем, например как некоторую платоновскую идею. Мы видели, что Кантор был сторонником именно последней точки зрения.

2. Границы математического метода мышления по О.Беккеру

Обсуждая вопрос о философских основаниях математического знания и о границах науки вообще, поучительно, по моему мнению, разобрать точку зрения известного немецкого философа науки (в особенности математики) XX столетия О.Беккера, изложенную в его книге “Величие и границы математического образа мышления”[97]. В конце этой работы философ дает герменевтическое описание всего, так сказать, спектра познавательных возможностей в науке. Беккер идет здесь от классического разделения на науки о природе и науки о культуре, утвердившегося благодаря трудам основателей баденской школы неокантианства (Г.Риккерт, В.Виндельбанд). Если науки о культуре стремятся к пониманию (verstehen), то методом наук о природе является объяснение (erklдren). Однако и объяснение, как считает Беккер, не есть универсальный метод естествознания (включая и математику), и иногда приходится довольствоваться только владением (beherrschen). Философ подробно объясняет разницу между этими тремя познавательными интенциями[98].

Понимание стремится свести всякое объяснение к типу внутренней духовной мотивации человеческих решений. Такова цель работы историка, стремящегося понять, например, смысл принятия того или иного решения каким-либо историческим лицом, государственным деятелем, полководцем и т.д. Такова же обычно и направленность историка искусства или литературы, где речь идет о раскрытии смысла того или иного художественного стиля, о соотношении биографической “эмпирии” и поэтики и т.д. Вся эта работа связана с особым типом анализа, но он почти не допускает какой-то формализации, а требует скорее вживания и угадывания узловых моментов[99].

Примером естественнонаучного объяснения является, например, данное впервые Галилеем разложение движения брошенного тела в суперпозицию двух одновременных движений: равномерного по горизонтали и равнопеременного (равноускоренного или равнозамедленного) по вертикали. Из отдельных законов движения по горизонтали и вертикали — линейно и квадратично зависящих от времени соответственно, — получается совмещением параболическая траектория движения брошенного тела.

При понимании мы сводим разбираемый случай к другому, более “элементарному”, “традиционному”, “обычному”, причем это отнюдь не всегда означает только совокупность обыденного опыта, но также и откристаллизовавшиеся в культуре формы “духовно-объективного”: в эпосе, праве, религии и т.д. Здесь трудно, по большей части, выделить какую-то исчерпывающую систему аксиом, понимание основывается, скорее, на сведении к интуитивно “прозрачным” внутренним актам личности. С точки зрения математики и естествознания такое понимание “неточно” и достаточно “произвольно”. Математическое объяснение, напротив, есть всегда сведение проблематичного к строго определенной комбинации элементарных данностей и операций. Математические положения, таким образом, “доказуемы”. Однако Беккер задает законный вопрос: насколько обоснована эта доказуемость?

Предполагается, что в математическом объяснении мы сводим любое положение, в конце концов, к аксиоматическим, которые истинны. Но на чем основана эта истинность? Сегодняшняя наука уже давно утеряла то невинное состояние, в котором она находилась во время зарождения античной цивилизации, когда аксиоматические положения считались самоочевидными. И история пятого постулата Евклида, и более близкая истории аксиоматизации теории множеств, к примеру, заставляют нас сегодня относиться к аксиомам гораздо осторожней и видеть в них скорее некоторые конвенциональные положения, чем абсолютные истины. Может быть, еще более серьезным является положение в физике. Так почти две тысячи лет в европейской науке господствовала аристотелевская точка зрения: скорость движения тела пропорциональна силе. И только со времен Ньютона мы приняли другое понимание движения: пропорциональность силы ускорению, на чем и базируется классическая механика.

Сама история науки показывает, что эти элементарные понятия, “данности” и аксиомы, к которым математические науки стремятся свести всю реальность — “сила”, “инерция”, “сопротивление”, “тяжесть”, “давление” и т.д. — отнюдь не так элементарны, как хотелось бы. По своему этимологическому происхождению они действительно связаны с некоторым внутренне понятным нам смыслом, однако уяснить их точное научное значение из этого опыта не представляется возможным. Более сложные естественнонаучные теории тем более не дают возможности ясного понимания своих элементарных составляющих. Ни уравнения Максвелла в электродинамике, ни четырехмерное пространство-время в теории относительности, ни бесконечномерное гильбертово пространство квантовой механики уже не имеют ничего общего с наглядностью, с понятным и привычным нам жизненным опытом. Научное объяснение здесь уже не представляет собой сведение более сложных феноменов к чему-то более простому и привычному. Ценность научных теорий здесь связана больше с плодотворностью их практического применения. Наука выступает здесь больше как деятельность, обеспечивающая возможность владения и господства, чем понимания или объяснения.

Уже те элементарные феномены, к которым приводит научное объяснение, представляют собой определенную границу понимания. “Эти элементарные способы перемещения[100], — пишет Беккер, — можно “легко понять” в том смысле, что легко можно схватить их представление и выразить их в простой формуле. Однако изнутри, в собственном смысле они непонятны. Еще меньше ощутима их необходимость; как показывает история механики, можно с таким же успехом рассматривать и другие формы элементарных движений. Таким образом, здесь проходит граница “объясняющего” способа познания. Оно не соотносит каждое “очевидное”, любое понимаемое с внутренним сопереживанием, что в большинстве случаев оказывается возможным в области наук о духе. Здесь выступает существенная чуждость нам неорганической природы; но именно здесь нам дано и существенное познание”[101]. Еще более выступает эта чуждость в области “владеющего” способа познания. Соотнести положения квантовой теории с экза-стенциальной реальностью человека по примеру того, как это делают в своей работе философ и историк, в высшей степени трудно, подчеркивает Беккер.

Однако несмотря на эту чуждость неорганической природы духу человека, математический способ познания позволяет формулировать теории, имеющие большое прикладное значение, дающие человеку возможности господства над природой. В этом плане математические методы познания не имеют никаких границ, считает Беккер[102].

В то же время Беккер, может быть даже против своей воли, несколько смягчает противопоставление природы и человека. Причем делается это двояко: и за счет “одухотворения” природы, и путем, так сказать, “натурализации” человека. Первое проявляется в том, что даже математические теории, отражающие чуждую духовной сущности человека, так сказать, “мертвую” природу, тем не менее помимо чисто познавательного содержания, как признает Беккер, дают и некоторое эстетическое удовлетворение. Действительно, критерий красоты естественнонаучной теории, тесно связанный с проблемами групп симметрий уравнений, играет большую эвристическую роль в науке[103]. Наука, точнее, математическое естествознание как бы всегда несет в себе этот пифагорейский след своего происхождения. Однако красоту можно понимать по-разному. Согласно Беккеру, красота природы, выступающей через призму научных теорий, это не красота цветка, как это думали романтики, в частности Шеллинг, а скорее красота кристалла. “Мыслить ее [природу — В.К.] как интеллигибельный кристалл, как это отваживаются делать лучшие люди наших дней, и есть, вероятно, путь истины — путь, который освещает свет математики”[104].

С другой стороны, доступ человека к “объясняющим” и “владеющим” методам познания — в противовес “понимающим” — облегчен тем, что, строго говоря, человек не есть только дух, но одновременно и тело. Человек есть соединение тела и духа в особое двуединое существо. Поэтому претензия “наук о духе” свести все познание к “пониманию” неоправданна. В телесном и в особенности в неорганическом “понимание” имеет свою естественную границу. И наоборот, именно во внутренне данном опыте своего телесного существа человек имеет доступ к внешнему неорганическому в природе. Тем самым в самом себе человек находит основу для “объясняющего” и “владеющего” способа познаний так же, как и для “понимающего”.

Беккеровское разделение типов познания непреодолимыми границами может удовлетворить отнюдь не всех. Понимание познания, как “владения”, знания, как силы, хотя играло, — и играет! — существеннейшую роль в нашей цивилизации (с XVII века), однако вместе с тем постоянно в ней присутствует и другая тенденция: преодолеть дуализм “понимания” и “объяснения”, — и шире: знания и голого “умения”, — найти единый корень познавательной интенции человека. В теории множеств, аналогично, принятие аксиом позволяет, конечно, навести некоторый формальный порядок. Но если мы не удовлетворяемся этим голым формализмом и начинаем спрашивать о смысле этих аксиом, — или, другими словами, мы требуем именно понимания их, — то мы, хотя и оказываемся тем самым перед проблемой, где сам вопрос о смысле, в котором она могла бы быть разрешена, необычно сложен, тем не менее мы подчиняемся здесь естественному и фундаментальному человеческому стремлению к уяснению любой наличной “данности”, суть ли это материальные факты или логические пред-положения. Или, к примеру, когда Кантор объявляет аксиомой утверждение о консистентности множеств, имеющих мощностями “алефы”, то опять естественно встает вопрос о “понимании” этого утверждения, и ссылка на то, что мы не понимаем этого уже и для конечных множеств, отнюдь ни в чем не убеждает. Во всяком случае, не всех. Так Г.Вейль, один из самых крупных математиков XX столетия, много размышлявший также и о философских предпосылках науки, писал в 1946 году по поводу проблем обоснования математического знания, выросших из теории множеств: “Из этой истории одно должно быть ясно: мы менее чем когда-либо уверены в незыблемости наиболее глубоких оснований (логики и) математики. Как у всех и всего в мире сегодня, у нас есть свой “кризис”. Он существует почти пятьдесят лет. Внешне может показаться, что он не мешает нашей повседневной работе, и все же что касается меня, я должен признаться, то этот кризис оказал значительное практическое влияние на мою математическую жизнь: он направил мои интересы в области, которые я считал относительно “безопасными”, и постоянно подтачивал энтузиазм и решимость, с которой я занимался своими исследованиями. Этот опыт, вероятно, разделяют и другие математики, не безразличные к тому, что их научные усилия означают в контексте всего человеческого существования в мире — существования, неотделимого от любви и познания, страдания и творческого начала”[105].

3. А.Пуанкаре о работе математика

В математике беккеровское знание, как “владение”, оборачивается голым формализмом и, в частности произвольным введением новых аксиом. Желание же “понять” эту формальную структуру, в частности понять необходимость новых аксиом, может быть удовлетворено только через более широкое видение, через рассмотрение изучаемых вопросов на фоне более широкого “пространства возможностей”. Это более широкое “пространство” обычно не входит ясно в формулирование окончательной теории, однако для “понимания” теории его необходимо “иметь в виду”. Собственно, усвоение новой теории по-настоящему только и произошло тогда, когда учащийся, осмысляя положения явно сформулированной теории, сможет “увидеть” этот “задний фон” теории, из которой она, так сказать, “вырастает” со своеобразной необходимостью... Это и значит обрести интуицию теории (доказательства, алгоритма). И прежде всего эту интуицию обретает сам создатель новой теории, так как при решении сложных задач без этой интуиции почти невозможно сделать ни шага.

Об этом немало писал в своих сочинениях по философии науки замечательный французский математик А.Пуанкаре. Так в работе “Ценность науки” он следующим образом характеризует интуицию: “Чистый анализ представляет в наше распоряжение много приемов, гарантируя нам их непогрешимость; он открывает нам тысячу различных путей, которым мы смело можем вверяться; мы уверены, что не встретим там препятствий, но какой из всех этих путей скорее всего приведет нас к цели? Кто скажет нам, какой следует выбрать? Нам нужна способность, которая позволяла бы видеть цель издали, а эта способность есть интуиция. Она необходима для исследователя в выборе пути, она не менее необходима и для того, кто идет по его следам и хочет знать, почему он избрал его?[106]”.

Интуиция в науке есть некое целостное видение изучаемого предмета, как бы из другого дополнительного измерения, которое позволяет видеть не только весь предмет, но и оценить его связи с инаковым: с другими возможностями, подходами, с фоном. Интуиция, по Пуанкаре, выступает в паре с дополнительной способностью логического анализа. Анализ выполняет функцию разделения, рассечения, выполняет роль познавательного “скальпеля”. Для науки, для математики в частности, необходимы обе: и логика, и интуиция. “Логика, которая одна может дать достоверность, есть орудие доказательства; интуиция есть орудие изобретательства”[107]. Причем, говоря об интуиции, Пуанкаре имел в виду не только так называемую геометрическую интуицию. Способность интуитивного видения, “схватывания” решения задачи еще до всяких доказательств проявляется аналогично и в области теории чисел, и в сфере чисто логических построений. Вместе с интуицией геометров существует и интуиция аналитиков. “Она-то [интуиция — В.К.] и позволяет им, — пишет Пуанкаре, — не только доказывать, но еще и изобретать. Через нее-то они и подмечают сразу общий план логического здания, и это — без всякого вмешательства со стороны чувств”[108].

Проявления интуиции свидетельствуют о наличии у разума мощных скрытых резервов. Пуанкаре приводит немало примеров из своей профессиональной математической деятельности, показывающих, что в поиске решения участвует не только сознание ученого, но и более глубокие подсознательные структуры разума. Интуитивному прозрению предшествует обычно напряженная работа над задачей, и хотя профессиональная деятельность естественно прерывается, осмысление проблемы в глубинах подсознательного может тем не менее продолжаться. Так Пуанкаре рассказывает об одном случае, когда он пытался решить задачу, связанную с так называемыми функциями Фукса. Работу над задачей пришлось прервать, так как ученый отправился на геологическую экскурсию: “Среди дорожных перипетий я забыл о своих математических работах; по прибытии в Кутанс мы взяли омнибус для прогулки; и вот в тот момент, когда я заносил ногу на ступеньку омнибуса, мне пришла в голову идея — хотя мои предыдущие мысли не имели с нею ничего общего, — что те преобразования, которыми я воспользовался для определения фуксовых функций, тождественны с преобразованиями неевклидовой геометрии”[109]. По возвращении Пуанкаре сделал проверку и идея оказалась правильной.

Подсознательное “я” играет в математическом творчестве роль первостепенной важности, считает Пуанкаре. Однако работу подсознания нельзя считать механической. Дело не в том, что подсознание автоматически “просчитывает” варианты возможных подходов к решению задачи. Если подходить к этому чисто формально, то этих вариантов обычно необозримо много. Главное, что происходит здесь помимо контроля сознания, — это выбор подходящего, истинного решения. “Но правила, руководящие этим выбором, — пишет Пуанкаре, — крайне тонкого деликатного характера; почти невозможно точно выразить их словами; они явственно чувствуются, но плохо поддаются формулировке; возможно ли при таких обстоятельствах представить себе решето, способное просеивать их механически?”[110]. Для подобного уподобления механизму подсознание оказывается “слишком умным”. Все это заставляет предполагать, что подсознательная деятельность ума связана с более глубинными потенциями личности: “...Представляется правдоподобной такая гипотеза: “я” подсознательное нисколько не “ниже”, чем “я” сознательное; оно отнюдь не имеет исключительно механического характера, но способно к распознаванию, обладает тактом, чувством изящного; оно умеет выбирать и отгадывать. Да что там! Оно лучше умеет отгадывать, чем “я” сознательное, ибо ему удается то, перед чем другое “я” оказывается бессильным. Одним словом, не является ли подсознательное “я” чем-то высшим, чем “я” сознательное?”[111].

Эти свидетельства профессионального опыта крупного математика заставляют вспомнить паскалево выделение особых мыслительных способностей: raison gйomйtrique (ум геометрический) и raison de finesse, (ум проницательный), о которых мы говорили выше[112]. Именно ум проницательный характеризуется тем, что способен находить решения в ситуациях, связанных с учетом очень большого количества факторов, которые трудно систематизировать и почти невозможно все явно описать. Прежде всего таково “понимание” в сфере искусствоведения, исторических наук, моральных оценок и т.д. Когда читаешь Пуанкаре, то возникает впечатление, что в этом подсознательном “я”, “которое лучше умеет отгадывать, чем “я” сознательное”, как раз и “прячется” raison de finesse. Разум геометрический, осуществляющий строгую логическую проверку выдвигаемых положений, оказывается только как бы внешней, поверхностной частью разума. В решающие же моменты он направляется более глубинной способностью познания, умом проницательным, обычно находящимся как бы “в тени”, или, точнее, не вмещающимся целиком в сознание... Однако науку создает целостный разум, включающий в себя оба подразделения: и ум геометрический, и ум проницательный.

Близость подсознательного “я” из рассуждений Пуанкаре и ума проницательного у Паскаля подтверждается в особенности тем, что оба они ответственны за эстетическую оценку. Что касается ума проницательного, мы говорили об этом уже выше. Пуанкаре же, описывая “сверхнормальные” потенции подсознательного “я”, все время подчеркивает, что именно возможность эстетического восприятия научных конструкций позволяет этому “я” найти путь к логически приемлемому решению. “Может показаться странным, что по поводу математических доказательств, имеющих, по-видимому, дело лишь с мышлением, я заговорил о восприятии. Но считать это странным значило бы забыть о чувстве прекрасного в математике, о гармонии чисел и форм, о геометрическом изяществе... но какие же именно математические предметы мы называем прекрасными и изящными, какие именно предметы способны вызвать в нас своего рода эстетические эмоции? Это те, элементы которых расположены так гармонично, что ум без труда может охватить целое, проникая в то же время и в детали. Эта гармония одновременно удовлетворяет нашим эстетическим потребностям и служит подспорьем для ума, который она поддерживает и которым она руководит. И в то же время, давая нам зрелище правильно расположенного целого, она вызывает в нас предчувствие математического закона... Но что же тогда оказывается? Среди тех крайне многочисленных комбинаций, которые слепо создает мое подсознательное “я”, почти все оказываются лишенными интереса и пользы, но именно поэтому они не оказывают никакого воздействия на эстетическое чувство, и сознание никогда о них не узнает; лишь некоторые среди них оказываются гармоничными, а следовательно, полезными и прекрасными в то же время; они сумеют разбудить ту специальную восприимчивость математика, о которой я только что говорил; последняя же, однажды возбужденная, со своей стороны, привлечет наше внимание к этим комбинациям и этим даст им возможность переступить через порог сознания” [курсив мой. — B.K.][113].

Чувство эстетического выступает всегда как характерная особенность именно человеческого внутреннего мира. Эстетическое восприятие относится в беккеровской трихотомии познания как раз к “пониманию”. Тем самым то жесткое разделение способностей познания на “понимание”, “объяснение” и “владение”, на котором настаивал О.Беккер, опровергается, вообще говоря, самой практикой науки, свидетельствами самих ученых[114]. Само “объяснение” и “владение” невозможно без частичного “понимания”, без некоторого “внутреннего освоения” изучаемой реальности, т.е. соотношения ее с внутренним экзистенциальным человеческим опытом. Например, это может происходить через эстетическую оценку, которая уже смягчает чуждость этого “кристаллического мира” природы, о которой говорил Беккер.

Возможность знания как “владения” миром укоренена, по Беккеру, в двойственности нашей духовно-телесной природы. Именно в интуиции тела человек имеет как бы постоянную парадигму “владения”. Однако соотношение духовного и телесного в человеческом существе в высшей степени сложно. И хотя мы как бы знаем крайние полюса этого двуединства, мы тем не менее не способны отделить одно от другого. Мы не знаем конкретно, как духовное связано с телесным. Но мы очень хорошо чувствуем, что есть более и менее одухотворенная телесность...[115]. Проблема познания и антропологическая проблема оказываются тем самым тесно зависимыми одна от другой.

Итак, научное познание обязано своим ростом, согласно Пуанкаре, не только рассудочной, чисто логической способности ума, но и более глубинным, более органическим его потенциям. Ближайшим образом здесь выступает эстетическая способность. Но, может быть, есть и другие скрытые возможности разума, которые тоже в той или иной степени участвуют в научном познании? В зависимости от общего представления о разуме мы будем иметь и соответствующую схему научного познания и, в частности, представление о его границах, в рамках познания вообще.

4. Концепция “целостного разума” в русской религиозной философии

То, что научный разум, как способность к чисто логическому анализу, представляет собой как бы усеченный разум — философия понимала еще со времен античности[116]. С нового же времени эта тема специфики научного разума становится одной из главных тем философии. Однако как мыслить полноту разума, полноту познания, — а следовательно, на этом фоне и характер специально научного познания, — это во многом определялось теми культурными и духовными традициями, в рамках которых развивалась та или иная философия. Здесь ответы западноевропейской философской традиции и отечественной различны.

Несмотря на то, что уже с XVII века Паскаль пытался обратить внимание философов на “разум сердца”, господствующая линия западноевропейской гносеологии вплоть до конца XIX века обращала внимание в основном на рационально-логическую сторону познания. Паскаль говорил как бы от имени традиции христианского персонализма, тесно связанной с глубинами христианской мистики. Для этой традиции личность, личное начало в человеке являются высшим типом реальности. То разделение в познании на внутренне “духовное понимание” и внешне-принудительное “владение”, о котором писал О.Беккер, неприемлемо для этой традиции. Все внешние, вся эта “кристаллическая” законосообразность природы должны быть здесь поняты “изнутри”, все должно быть одухотворено и олицетворено. В силу характерной наклонности западного христианства к рационализму эта персоналистическая линия в понимании познания менее выражена в западноевропейской философии и нередко отождествляется с иррационализмом. В русской же философии, вырастающей из лона православной культуры, уже со старших славянофилов начинается, с одной стороны, так называемая “критика отвлеченных начал”, а с другой — свои оригинальные попытки дать концепцию целостного разума.

Лишь на первый взгляд в науке действует только формально-логическое рассудочное начало. Ученые в своем большинстве свидетельствуют о, так сказать, “неодномерности” процесса научного мышления, о причастности к научному творчеству и других потенций разума, в частности способности к эстетической оценке. Мы видели выше, какую важную роль играет последняя в науке по мнению А.Пуанкаре. Однако мыслить это объединение различных способностей можно и чисто механически. В этом смысле совершенной теоремой была бы та, которая удовлетворяла бы формально-логическим требованиям разума и, дополнительно, например, эстетическим. Не таков подход отечественной философии. Она одушевлена верой в то, что у различных способностей души, — и прежде всего главных: логического мышления, способности эстетической оценки и способности нравственного самоопределения, несмотря на всю специфику и отдельность областей применения этих способностей, — есть тем не менее общий духовный корень. Это означает, что в конечном счете все эти способности суть в каком-то смысле видоизменения одного общего чувства Истины, понимая под последней не просто формально-логическую правильность, а органическое единство истины научной, эстетического и нравственного совершенства. Отдельные же познавательные способности человеческого ума суть лишь “отвлеченные начала” этого общего чувства истины, в принципе неспособные в своей изолированности удовлетворить жажду познания во всякой её полноте.

Само обособление этих способностей, их противостояние одного другому (“чистое искусство”, “чисто теоретическая наука”, “автономная мораль”) связываются в традиции русской религиозной философии с фундаментальным фактом христианского понимания истории — с грехопадением. Символом этой расколотости человеческого существа, внутренней вражды его же собственных способностей является библейская история о Еве, сорвавшей яблоко с дерева познания добра и зла, что было настрого запрещено Богом: “И увидела Ева, что дерево хорошо для пищи, и что оно приятно для глаз и вожделенно, потому что дает знание; и взяла плодов его и ела; и дала также мужу своему, и он ел” (Быт., 3, 6). Грехопадение происходит уже в самом восприятии яблока, в котором аспекты эстетические и чувственные начинают отделяться от нравственных устоев жизни (заповедей Божиих). Восстановление утерянной целостности способностей, утерянного целомудрия невозможно без прямой божественной помощи, выражающейся во всей экономии божественного домостроительства в истории. От человека же здесь требуется вера и послушание предписанным Богом рецептам спасения.

Отдельные человеческие способности не только нуждаются друг в друге для того, чтобы поправлять, направлять и дополнять друг друга, но и фактически соучаствуют в общей работе. Определенную причастность одних “отвлеченных начал” другим показать нетрудно. Так мы видели выше, что эстетическое чувство играет немаловажную регулятивную роль при решении естественнонаучных задач. О роли эстетического начала в нравственной сфере красноречиво свидетельствует русский язык: “некрасивый поступок” и “прекрасный поступок” и т.д. Сознательная ориентация на доктрину “целостного познания”, “целостного разума” ведет к пробуждению определенных интегративных тенденций внутри отделившихся сфер культуры. Вот как писал об этом И.В.Киреевский: “Внутреннее сознание, что есть в глубине души живое общее средоточие для всех отдельных сил разума, сокрытое от обыкновенного состояния духа человеческого, но достижимое для ищущего и одно достойное постигать высшую истину, — такое сознание постоянно возвышает самый образ мышления человека; смиряя его рассудочное самомнение, оно не стесняет свободы естественных законов его разума; напротив, укрепляет его самобытность и вместе с тем добровольно подчиняет его вере. Тогда на всякое мышление, не исходящее из высшего источника разумения, он смотрит как на неполное и потому неверное знание, которое не может служить выражением высшей истины, хотя может быть полезным на своем подчиненном месте и даже иногда быть необходимою ступенью для другого знания, стоящего на ступени еще низшей”[117].

Задача обретения целостности, уцеломудрения ума выступает здесь не только как интеллектуальная задача, но еще больше как духовно-мистическая практика, выходящая за рамки чисто секулярного понимания работы ученого. Вместе с интеллектуальными способностями исследователь должен обладать и особой чуткостью к тому, что обычно считается второстепенным в познании природы — эстетическим и моральным аспектам. То же относится и к познанию в эстетической и нравственной сферах. “Первое условие для такого возвышения разума, — пишет Киреевский, — заключается в том, чтобы он стремился собрать в одну неделимую цельность все свои отдельные силы, которые в обыкновенном положении человека находятся в состоянии разрозненности и противоречия; чтобы он не признавал своей отвлеченной логической способности за единственный орган разумения истины; чтобы голос восторженного чувства, не соглашенный с другими силами духа, он не почитал безошибочным указанием правды; чтобы внушения отдельного эстетического смысла независимо от развития других понятий он не считал верным путеводителем для разумения высшего мироустройства; даже чтобы господствующую любовь своего сердца отдельно от других требований духа он не почитал за непогрешимую руководительницу к постижению высшего блага; но чтобы постоянно искал в глубине души того внутреннего корня разумения, где отдельные силы сливаются в одно живое и цельное зрение ума”[118].

Идея целостного разума и критика отвлеченных начал составляют центральные моменты философии В.С.Соловьева. Мы находим в его работах блестяще развернутую аргументацию, показывающую гносеологическую недостаточность отдельных познавательных начал, их диалектическую причастность друг другу, находим постоянное стремление сформулировать идеал “цельного знания”. “Цельное знание, — пишет Соловьев, — по определению своему не может иметь исключительно теоретического характера; оно должно отвечать всем потребностям человеческого духа, должно удовлетворять в своей сфере всем высшим стремлениям человека. Отделить теоретический или познавательный элемент от элемента нравственного или практического и от элемента художественного или эстетического можно было бы только в тех случаях, если бы дух человеческий разделялся на несколько самостоятельных существ, из которых одно было бы только волей, другое — только разумом, третье — только чувством. Но так как этого нет и быть не может, так как всегда и необходимо предмет нашего познания есть вместе с тем предмет нашей воли и чувства, то чисто теоретическое, отвлеченно-научное знание всегда было и будет праздною выдумкой, субъективным призраком”[119].

Интересен в этом смысле взгляд Соловьева на математику и естествознание: “Пусть не указывают на так называемые точные науки — математику и естествознание — как на чистое знание, не имеющее никакого прямого отношения к воле и чувству. Ибо именно вследствие того эти знания сами по себе, в своей отдельности и не имеют никакого значения даже с теоретической стороны, не удовлетворяют даже познавательной потребности человека, не составляют истины. Если бы на вечный вопрос “что есть истина?” кто-нибудь ответил: истина есть то, что сумма углов треугольника равняется двум прямым или что соединение водорода с кислородом образует воду, — не было ли бы это плохою шуткой?”[120]. Может быть, подобная оценка не всем понравится, в особенности сторонникам чистой науки (и чистой математики в частности). Но вспомним тот парадокс в философских установках Кантора, который мы неоднократно отличали в этой главе. Кантор был, с одной стороны, защитником идеи “свободной математики”, а с другой — постоянно искал возможности “прикрепить свои абстрактные теоретико-множественные построения к естественным наукам, философии, теологии. Что было причиной этого? — Сама внутри-математическая работа с абстрактными понятиями все настойчивей выдвигала вопрос об онтологическом смысле этих построений. (Например, в определении консистентных множеств, что тесно связано с фундаментальным вопросом о существовании вообще актуально бесконечного множества.) И по мере развития теории необходимость в решении подобных вопросов становилась все острее (например, с выделением аксиомы выбора). Развивать теорию без этих дополнительных “зацепок” за “действительность” — онтологического ли, эстетического или иного какого характера, — становится неимоверно трудно, а точнее, в силу необъятности открывающихся возможностей, просто невозможно...

Поэтому понять Соловьева можно, исходя и из чисто внутренних, так сказать, “цеховых” проблем науки. Но, конечно, философия Соловьева утверждает себя в рамках христианского мировоззрения: “Теоретический вопрос об истине относится, очевидно, не к частным формам и отношениям явлений, а к всеобщему безусловному смыслу или разуму (LТgoj) существующего, и потому частные науки и познания имеют значение истины не сами по себе, а лишь в своем отношении к этому Логосу, то есть как органические части единой, цельной истины; в отдельности же своей они суть или простая забава, удовлетворяющая личным вкусам, или же вспомогательное средство для удовлетворения материальных потребностей цивилизованного быта как одно из орудий индустрии; так что и тут эти науки связаны с волей к чувствам, но не с духовною нравственной волей, а с материальной похотью и прихотью и не с высшим творческим чувством, а с низшей чувственностью. Наша наука служит или Богу, или мамоне, но кому-нибудь служить для нее неизбежно: безусловно самостоятельной быть она не может”[121].

Внимательный читатель уже, наверное, заметил, что, говоря о причастности “отвлеченных начал” человеческого духа друг другу, мы молчаливо обошли вопрос о нравственном начале. Какое отношение имеет оно к познанию или к эстетике? Законно ли рассматривать науку и искусство “при свете совести”? Расхожее представление нашего времени, замешанное на позитивистских аксиомах познания и моральном релятивизме, конечно же, ответит на этот вопрос отрицательно. Традиция же русской религиозной философии видит в нравственном начале, конкретно в любви, как бы корень всей познавательной активности человека. Этот тезис достаточно очевиден, когда мы говорим о познании человека (“ближнего”). Только любящему взору открываются глубины внутреннего мира другого. А некоторые стороны души вообще не могут быть познаны внешне и принудительно, через “объективное рассматривание”. Они могут быть открыты нам только свободным волеизъявлением человека. И открываются они только любящему взгляду...

Но разве необходима любовь для познания неодушевленной и уж тем более неорганической природы? Разве не действует в этой сфере голый “познавательный интерес”, не имеющий никакого отношения к любви? “Но не нужно забывать, — пишет об этом прот. Вас.Зеньковский, — что “интерес” (лежащий в основе познавательной активности) и есть зачаточная форма любви, есть ее начальное проявление. Эта начальная форма любви есть, так сказать, “душа” интереса, скрытая за той психологической оболочкой, которая феноменологически облекает или выражает “интерес”. Влечение любви и проявляется прежде всего в “интересе” к предмету любви, — и этот интерес и направляет познавательную активность”[122].

То, что любовь к предмету исследования, к своему делу является важной психологической чертой научной деятельности, подчеркивалось не раз. Но то, что познание по своей природе существенно связано с любовью, есть любовь, в своей основе, — это утверждение уже представляет собой принципиально новый тезис, который ставит познание в совершенно новую перспективу. В этой перспективе опять уже невозможно то познание-“владение”, о котором говорил О.Беккер. То есть оно возможно как факт, но оно недопустимо как норма познания. Следовательно, познание — владение, с этой точки зрения, становится несовершенным познанием, которое должно быть превзойдено.

В сегодняшней науке и в сегодняшней культуре вообще накоплен немалый критический материал в пользу этого нового понимания познания. Была, в частности, глубоко осознана духовно-экзистенциальная сторона экспериментального метода науки нового времени[123]. Было замечено и философски осмыслено, что экспериментальное испытание природы есть действительно некоторый род “пытания”, т.е. насильственного “вырывания” истин у природы. И аналогично тому, как это происходит в случае с человеком, “признания”, полученные “под пыткой”, отнюдь не всегда раскрывают истину. Скорее они всего-навсего подтверждают именно то, что настойчиво ищут... В естествознании мы ищем экспериментально подтверждающие факты всегда в соответствии с некоторой гипотезой. Последняя же берется нами из некоторого общенаучного и, шире, общемировоззренческого “пространства”. Вопрос о том, каково это “пространство”, каково “мировоззрение”, “в свете которого” мы будем развивать нашу науку, становится тем самым принципиальным. Мы сможем, вообще говоря, бесконечно продвигать науку в некотором выбранном направлении в соответствии с некоторыми предвзятыми принципами. Но вопрос, в конце концов, состоит не в том, как далеко мы продвинулись в реализации этого специального плана науки, а в том, насколько мы поняли истину самой природы. А для последнего необходимо дать ей больше, так сказать, “права голоса” в самом процессе исследования. Вместо навязывания природе удобного нам языка, реализуемого через всю совокупность теоретико-экспериментальной техники, полезно прислушаться к ней самой... При таком подходе мы как бы откатываемся назад, за границу новоевропейского естествознания, к установкам природоведения древности и средневековья, где еще не было эксперимента в нашем смысле, но где огромную роль играло наблюдение. Природу надо сначала угадать, понять и только потом, может быть, применить всю изощренную технику экспериментального метода. А для того, чтобы угадать и понять, ее нужно любить...

С этим пересмотром парадигм новоевропейской науки тесно связана сегодня тема экологического мышления. Естествознание нового времени имело своим духовным лоном христианское мировоззрение, но в его достаточно специальной форме. Сегодня уже почти общепринята точка зрения, что на становление классической механики и новоевропейской физики существенное влияние оказал протестантизм[124]. То неумеренное противопоставление духа и материи, которое характерно для последнего, оказало глубокое влияние и на науку, и на новоевропейскую философию вообще. “Жесткое” отношение к природе, проявившееся в идее экспериментального испытания природы, во многом укоренено в “духе Протестантизма”. Этот “дух” и породил в XVIII веке механицистское мировоззрение, яды которого и по сегодня отравляют нашу культуру и в особенности науку. Этому духу механизма, захватившему цивилизацию, вменяют в вину и экологический кризис, приобретающий в настоящее время планетарный характер. Преодоление этой механицисткой ньютоновско-декартовской парадигмы науки ищут на путях отказа от механицистско-атомистического подхода к природе, на путях развития холистских подходов к изучению природы, большего внимания к процессам самоорганизации в ней. Это относится как к физикалистским наукам, так и к социальным, и к психологии.

Однако подобное преодоление тупиков науки, при “ревности не по разуму”, может само обернуться деградацией европейской цивилизации, утерей ее фундаментальных основ. Преодоление механицистского, “односторонне мужественного” характера нашей науки и цивилизации в целом, имеющего корни в ложной, по мнению некоторых ее критиков, патерналистской модели мироздания[125], превращается нередко в не менее одностороннее акцентирование чисто материальных, стихийно-иррациональных, “женственных” сторон бытия. Не случайно экологические движения тесно связаны с феминистскими как идеологически, так и организационно. Экологическое мышление, превращающееся в борьбу за равноправие “женского” и “мужского” начал в бытии и познании, ищет своего мировоззренческого оправдания в древних языческих культурах. Одним из главных претендентов здесь выступает древнекитайская философия, связанная с традицией “И Цзын”[126]. Обращение к традициям языческих религий ведет к утверждению узко-прагматического взгляда на знание, к утере теоретического пафоса в науке, к развитию оккультизма, магии, к помутнению и разложению самих основ европейской цивилизации. В то же время, все основные успехи последней, включая и беспрецедентное развитие научного знания в последние четыре века, были необходимо обусловлены христианской концепцией природы и человека. Борьба с механицистскими всходами протестантского “посева” в культуре не должна оборачиваться борьбой с самими христианскими основами нашей цивилизации. Стремление утвердить в науке более широкий подход, чем традиционный, связанный с декартовски-ньютоновски-кантовской парадигмой науки, найти место “женственному” началу в картине бытия не должно приводить к языческой редукции всего бытия к чисто космологическим началам (например, “инь-янь”, как в “И Цзыне”), к утрате интуиции личности, как образа Божьего, дарованного нам христианством. Ведь только в рамках последнего обрел человек ту богоданную свободу, которая позволила ему, освободившись от рабства натуралистических культур, создать современную науку. И только христианское мировоззрение дало человеку то понимание иерархии, которое не мешает ни равноправию, ни любви.

Обретение целостного разума, цельного знания понимается в традиции отечественной религиозной философии не как поиск некого оккультного знания, а как движение по путям традиционной церковной аскетики и мистики. Для последних задача обретения правильного “устроения ума” формулируется как “сведение ума в сердце”. “Ум” в своей отдельности выступает здесь как способность формально-логического отношения к действительности, сердце — как способность оценки этой действительности. “Сведение ума в сердце” означает тем самым обретение целостного видения, в котором каждый факт знания оказывается соотнесен со сферой должного. Здесь очень важны взгляды русского философа и богослова В.Д.Кудрявцева-Платонова, давшего четкую формулу, в чем, собственно, состоит истина предмета, которую ищет познание. Истина о всякой вещи, по Кудрявцеву-Платонову, раскрывается через рассмотрение феноменальной стороны предмета на фоне его идеального образа, через соотношение того, чем он является, с тем, чем должен быть. Так когда мы хотим понять природу и сущность какой-то болезни, то это невозможно сделать без какого-то представления о нормальном, здоровом организме. Пример этот является парадигмальным. Как пишет прот. В.Зеньковский: “Категория болезни есть вообще более широкая категория, чем это принято думать — она относится ко всему бытию, ко всему в бытии. Ничто так не свидетельствует об истинности христианского учения о поврежденности природы, как эта всеобщая приложимость категории “болезни” ко всему бытию. Действительно, категория “болезни” внутренне связана с выяснением взаимоотношения — “факта” и “нормы” в бытии. О многом мы и не знаем, что было бы нормой для данного бытия, — но приложимость ко всему эстетической мерки все же намекает на то, что является нормой для данного бытия”[127]. Подобный подход напоминает понимание познания в философии баденской школы неокантианства. Однако если в последней рассмотрение действительности через “отнесение к ценностям” допустимо только в науках о культуре, то подход отечественной философии здесь более радикален: в познании нет ничего ценностно нейтрального, включая и естественнонаучные теории...

Тем самым в отечественной философской традиции разум понимается, по определению прот. В.Зеньковского, динамически. Познание существенно зависит от духовной жизни личности. И хотя законы логики и правила арифметики остаются инвариантными, наше познание глубоко обусловлено теми ценностными и мировоззренческими горизонтами, в которых оно разворачивается, которые суть выражения духовного самоопределения личности и эпохи. Углубление и расширение нашего познания теснейшим образом связано, в этом понимании, с нравственным совершенством личности. Само познание рассматривается здесь не просто как функция гносеологического субъекта, а как целостный акт личности. “Онтологический смысл познания, — пишет Зеньковский, — онтологическая сторона познания и состоит в сближении с предметом познания, чтобы перейти в любовь к нему. Достаточно уяснить себе эту конечную задачу познания, чтобы понять, что так называемая “теоретичность” познания, понимая это в смысле греческого Theoria, вовсе не есть чисто созерцательное отношение к предмету, — это есть движение духа к предмету, имеющее в виду обнять его любовью и соединиться с ним через эту любовь”[128].

Согласно пониманию русской религиозной философии совершенное познание требует духовного совершенства: только “чистые сердцем Бога узрят”. Этот подъем по лестнице умственного “ведения” возможен только как одновременное преображение человеческого существа благодатными божественными энергиями — обожение. Это совершается на путях личного христианского подвига. Совершенное познание возможно только через соединение с божественным Логосом. И любовь здесь имеет решающее значение: “Любовь никогда не перестает, хотя и пророчества прекратятся, и языки умолкнут, и знание упразднится. Ибо мы отчасти знаем, и отчасти пророчествуем; когда же настанет совершенное, тогда то, что отчасти, прекратится”[129].

* * *

Теория множеств дает нам один из ярчайших примеров того, как наука в своем естественном развитии подходит к проблемам, которые требуют уже для своего — не говорю: решения, но даже просто осмысления — обсуждения глубоких философских и мировоззренческих вопросов. Можно, конечно, продолжать работать и не обращая внимания на эти уже поднятые философские вопросы. Таких людей, как Г.Вейль, для которого кризис в математике был одновременно и мировоззренческим кризисом, не так уж и много в науке (особенно в современной). Всегда находились и, несомненно, найдутся ученые, которых ничто не остановит в их стремлении решить возникшие в теории сложности чисто внутринаучными, “цеховыми” средствами. Однако дело здесь не только в широте образованности, философских наклонностях или мировоззренческих симпатиях ученого. Философские дискуссии XIX-XX столетия, связанные с основаниями теории множеств, по существу касаются вопроса о возможности познания актуально-бесконечного, о смысле математических конструкций вообще. И обывательски отмахнуться от них трудно, потому что вместе с ними возникает и вопрос о границах научного познания вообще.

Решение же последнего вопроса обусловлено, как мы видели выше, тем, в каком философском горизонте рассматривается проблема математического познания. Кант, связавший свое понимание математики со специфически интерпретируемым созерцанием, в принципе отрицает познание актуально бесконечного. о.Беккер также дает “статическое” понимание познавательных возможностей разума. Деление познания на “понимание”, “объяснение” и “владение” проводит жесткие границы между отдельными науками и их методами. Причем математике, во всяком случае в ее высших разделах, суждено обслуживать именно “знание-владение”: познание “кристаллических” структур принципиально чуждого человеческой душе мира неорганической природы. Все попадающее в сферу “понимания”, — прежде всего гуманитарное знание, — составляет естественную границу “математического метода мышления”. А.Пуанкаре, идущий от своего профессионального опыта математика, настаивает на необходимой роли интуиции в математике, однако понимает эту интуицию-созерцание уже совсем иначе, чем Кант. По Пуанкаре, существует некоторая подсознательная интуиция, направляющая наши поиски и подсказывающая нам решение. Границы возможностей этого “подсознательного “я” трудно определить, но, во всяком случае, ему удается “навязывать” сознанию некоторые априорные синтетические суждения, касающиеся актуальной бесконечности[130]. Пуанкаре подчеркивает также регулятивную роль эстетических критериев в математике: подсознательное “я” ученого как бы ведет “эстетический отбор” возможных вариантов решения. Тем самым жесткие границы между сферой математического “объяснения” (“владения”) и гуманитарно-экзистенциального “понимания” смягчаются при таком подходе.

Русская религиозная философия рассматривает проблему научного познания в рамках христианского мировоззрения. Актуальное распадение человеческого знания на отдельные “факультеты” есть прямое выражение грехопадения человека, его внутренней духовной расколотости и развращенности. Однако исходная органическая целостность познающего духа свидетельствует себя в определенной проницаемости границ наук и методов, в частности в универсальной причастности всего познаваемого эстетической оценке. Нравственное начало, любовь рассматривается здесь как глубинный корень самой познавательной способности. Обретение целостного знания возможно только на путях исцеления ума: восстановления органической целостности рефлектирующего и оценивающего начал человеческого духа. В этой перспективе границы наук, — и, следовательно, границы науки как границы естествознания, — оказываются условными. “Жесткость” этих границ тесно связана с общим мировоззрением человека, зависящего от его духовной жизни. Духовное возрастание человека все больше открывает ему горизонты целостного знания, причащает его Истине божественного Логоса.

 


[1] Как пишет один из биографов создателя теории множеств Г.Кантора: “Канторовские исследования подвели нас к границе “непостижимого” (Meschkowski Н. Probleme des Unendlichen. Werk und Leben Georg Cantors. Friedr. Vieweg & Sohn. Braunschweig, 1967. S. 225).

[2] Священник Павел Флоренский, давший одно из первых в отечественной литературе изложений канторовской теории множеств, так описывал эту ситуацию: “Его, конечно, публика не понимает. Чего нужно ему? Для философов он “философствующий математик”, для математиков — метафизик, для индифферентных — он подозрительно религиозен, — как бы тут не было подвохов; для теологов он будто бы опасен: “не ведут ли эти умствования к пантеизму?” — вот задняя мысль теологов” (См.: О символах бесконечности (Очерк идей Г.Кантора). С. 122 // Священник Павел Флоренский. Сочинения в четырех томах. T. 1. Философское наследие. М., 1994. С. 79-128).

[3] Основы общего учения о многообразиях. Математически-философский опыт учения о бесконечном. С. 64 // Георг Кантор. Труды по теории множеств. Ответственные редакторы А.Н.Колмогоров, А.П.Юшкевич. М., 1985. С. 63-106 (В дальнейшем я делаю ссылки на эту книгу следующим образом: Кантор и указание страниц).

[4] Кантор. С. 64-65.

[5] Кантор. С. 65.

[6] Прежде всего Лейбницем. Кантор не считал дифференциал актуально бесконечно малой. Дифференциал для него, больше ориентированного на конструкции О.Коши, был произвольным сколь угодно малым количеством. Впрочем, и точка зрения Лейбница на дифференциал была колеблющейся (См. мою книгу: Катасонов В.Н. Метафизическая математика XVII века. М., 1983. Гл. II).

[7] Аристотель. Физика, 206а, 28-35.

[8] Язычество, собственно, и есть обожествление формы.

[9] Термин богоподобие берется здесь, конечно, не в собственном смысле. Существенным для христианского богословия является разделение образа и подобия Божия в человеке. Образ Божий в человеке есть онтологическая характеристика тварного человеческого существа. Подобие же Божие есть задание для падшего человечества. Преодолевая свои страсти, свою греховную природу, личными нравственными усилиями каждый человек призван восстановить свое богоподобие, утраченное в грехопадении. Возможность этого открыта искупительным подвигом Иисуса Христа.

[10] Ошибочный начальный тезис (греч.).

[11] Кантор. С. 263.

[12] К обоснованию учения о трансфинитных множествах. С. 173 // Кантор. С. 173-245.

[13] Кантор ввел обозначения мощностей через букву “алеф” — À — первую букву еврейского алфавита, — с индексами.

[14] Кантор. С. 186.

[15] В отличие от определения кардинала, здесь однократное абстрагирование, поэтому и одна черта над символом множества: М.

[16] В общем случае, т.е. включая и бесконечные множества.

[17] Кантор. С. 72-73.

[18] Поэтому Кантор с необходимостью вовлекается в математические и философские дискуссии.

[19] Кантор. С. 73.

[20] Там же.

[21] Кун Т. Структура научных революций. M., 1975.

[22] Подробнее см. об этом в моей книге: В.Н.Катасонов. Метафизическая математика XVII века... гл. II и IV.

[23] К учению о трансфинитном. V. Прим. 19 (со c. 289). С. 291 // Кантор С. 268-324 (Перевод с лат. дан по книге: Ориген. О началах. С. 150-151 // Творения Оригена, учителя александрийского, в русском переводе. Казань, 1899).

[24] Там же. Перевод с лат. см.: Кантор. С. 416.

[25] Там же.

[26] Там же.

[27] Основы общего учения о многообразиe. С. 79 // Кантор. С. 63-106.

[28] Там же.

[29] Цит. соч. С. 103. Прим. 6.

[30] Там же.

[31] Выражение Н.Бурбаки.

[32] Основы общего учения о многообразиях... С. 79-80.

[33] Как считает Кантор.

[34] Цит.соч.С. 80.

[35] Этa точка зрения на математику отнюдь не была самоочевидной в истории этой науки. Античность в целом смотрела на математику более онтологично. См., например, мою статью: Катасонов В.Н. Форма и формула (к вопросу о типе рациональности античной и декартовской геометрий) // Философия науки. Вып. 1. Проблемы рациональности. М., 1995. С. 105-146.

[36] Meschkowski H. Aus den Briefbьchern Georg Cantors. S. 510 // Archive fot History of Exact Sciences. Ed. by C.Truesdell. Vol. 2. № 6. Berlin, Heidelberg, New York. S. 503-519.

[37] Основы общего учения о многообразиях. С. 80.

[38] См., например, книгу: Левицкий С.А. Трагедия свободы. Посев, Франкфур-на-Майне, 1958.

[39] См. мою книгу: Катасонов В.Н. Метафизическая математика XVII века. Гл. I.

[40] См. мою книгу: Катасонов В.Н. Метафизическая математика XVII века. Гл. 1. А также статью: Катасонов В.Н. Форма и формула (античная и картезианская геометрия) // Исторические типы рациональности. Т. 2. М., 1996. С. 50-86.

[41] Здесь прежде всего нужно иметь в виду Лейбница. См. мою книгу: Катасонов В.Н. Метафизическая математика XVII века...

[42] Основы общего учения о многообразиях... С. 88.

[43] Этим “как бы” я хочу сказать, что Кантор слишком переоценивал значение этого результата. Отображение n-мерного пространства на одномерное было в высшей степени искусственное и “внешнее”, и оставалось непонятным, как бы можно было его использовать для сведения задач n-мерных к одномерным. На это Кантору указывали многие. См., в частности, Переписку Кантора с Дедекиндом в: Кантор. С. 346 и далее.

[44] Я не использую здесь специальных терминов и операции теории множеств. Тот, кто хочет познакомиться с точными математическими определениями, должен обратиться к соответствующей литературе. См., например: П.С.Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., 1977. С. 136-143.

[45] Основы общего учения о многообразиях. ..С. 91.

[46] Коэн П.Дж. Теория множеств и континуумгипотеза. Библиотека сборника “Математика”. М., 1969. С. 282.

[47] См. С. 9.

[48] Другими словами, N само есть вполне упорядоченное множество.

[49] Цитата по книге: Ф.А.Медведев. Ранняя история аксиомы выбора. М., 1982. С. 218.

[50] Медведев Ф.А. Ранняя история аксиомы выбора... С. 46-48.

[51] См., например, книгу: Кановей В.Г. Аксиома выбора и аксиома детерминированности. М., 1984. С. 20.

[52] Справочная книга по математической логике. Ч. II. Теория множеств. М., 1982. С. 42.

[53] Медведев Ф.А. Ранняя история аксиомы выбора ... С. 6.

[54] Цит. по книге: Медведев Ф.А. Ранняя история аксиомы выбора ... С. 276.

[55] Цитаты по книге: Медведев Ф.А. Ранняя история аксиомы выбора... С. 279-281.

[56] Справочная книга по математической логике. Ч. II. С. 62.

[57] Кановей В.Г. Аксиома выбора и аксиома детерминированности... С. 63.

[58] Теорема о том, что множество всех подмножеств данного множества имеет мощность большую, чем исходное множество.

[59] Aus dem Briefwechsel zwischsen Cantor und Dedekind. 1. Cantor an Dedekind. Halle, 28. Juli 1899. S. 443- 444 // Georg Cantor. Gesammelte Abhandlungen. Herausg. von Ernst Zermelo. Berlin, 1932. S. 443-451.

[60] “Совокупность всего мыслимого” является, так сказать, типичным “диалектичным” понятием. В эту совокупность мы должны включить и мысль о нашем представлении о ней, и мысль о мысли о нашем представлении о ней и т.д.

[61] Сложилась дурная традиция издавать переписку Кантора: печатаются письма только самого Кантора. Так в отечественном издании Кантора из 49 писем переписки с Дедекиндом последнему принадлежит только 7 (плюс 7 замечаний). То же должно сказать и о последнем издании: Georg Cantor. Briefe. Herausg. von H.Meschkowski und W. Nilson. Springer — Verbag. Berlin, Heidelberg, 1991. В силу чрезвычайной важности предмета дискуссий для всей науки необходимо, конечно, печатать письма обоих корреспондентов.

[62] Cantor an Dedekind. Hahnenklee, 28. Aug. 1899. S. 447-448 // Georg Cantor. Gesammelte Abhandlungen...

[63] Что и делалось в системе аксиом Цермело.

[64] Cantor an Dedekind. Halle, 28 juli 1899. S. 444// Georg Cantor. Gesammelte Abhandlungen...

[65] См. Кантор. С. 367 и Примечания [1] издателей к этому доказательству.

[66] Кантор — Дедекинду. Ханенклее, 30 авг. 1899 г. С. 371 // Кантор. С. 370-371.

[67] Cantor an Dedecind. Halle, 28. Juli 1899. S. 447 // Georg Cantor. Gesammelte Abhandlungen...

[68] См.: Кантор неосознанно, как само собой разумеющееся, всегда использует молчаливое предположение о том, что любое множество можно вполне упорядочить.

[69] См., подробнее: Кантор. С. 96.

[70] Или континуум будет неконсистентным множеством.

[71] Dauben J.W. Georg Cantor... P. 245-246.

[72] См., например, Кантор. С. 266.

[73] Кантор. С. 101, Примечание 2.

[74] Dauben J.W. Georg Cantor... P. 246.

[75] Ibid.

[76] Кантор, С. 75.

[77] Например, в письме к Т.Эшеру. См.: Maschkowski H. Aus den Briefbьhern Georg Cantors... S. 511-513.

[78] Ibidem.

[79] Кантор, С. 290, прим. 19.

[80] Высший род (лат.).

[81] Совершенная действительность, Высшее бытие (лат.).

[82] Цит. по книге : Dauben J.W. Georg Cantor... Р. 290.

[83] Даубен совершенно убежден, что Кантор отождествлял свою математическую теорию с прямым богопознанием. После приведенной цитаты американский исследователь пишет: “Не может быть никакой ошибки в отношении канторовской идентификации своей математики и некоторого великого абсолютного единства в Боге. Это также соответствовало его отождествлению теории трансфинитных чисел с божественным вдохновением” (Dauben J.W. Georg Cantor... P. 290).

[84] Вопенка П. Математика в альтернативной теории множеств. Новое в зарубежной науке. Математика. № 31. М.: Мир, 1983. С. 124.

[85] Идею о связи модернизма и процессов в математике XX столетия поддерживает, в частности, Г.Мертенс (см.: Зарубежные исследования по философским проблемам математики 90-х гг. Научно-аналитический обзор. М., 1995. С. 67).

[86] История идеи универсальной характеристки. С. 416 // Лейбниц Г.В. Соч. в 4 т. Т. 3. Философское наследие. М., 1984. С. 412-418. См. также мою книгу: Катасонов В.Н. Метафизическая математика XVII века... Гл. II.

[87] Критика чистого разума. С. 224 // Кант И. Соч. в 6 т. Т. 3. Философское наследие. М., 1964.

[88] Цит. соч. С. 178.

[89] Цит. соч. С. 406.

[90] Там же. Примечание.

[91] Там же. С. 408.

[92] Цит. соч. С. 408.

[93] Цит. соч. С. 470.

[94] Цит. соч. С. 473.

[95] Цит. соч. С. 472.

[96] Цит. соч. С. 472-473.

[97] Becker О. Grцsse und Grenze der matematischen Denkweise. Freiburg, Munchen, 1959.

[98] Becker O. Grцsse und Grenze der matematischen Denkweise... S. 162 и далее.

[99] Понимание теснейшим образом связано с тем raison du coeur, о котором говорил Б.Паскаль.

[100] Т.е., например, прямолинейное равномерное движение.

[101] Becker О. Grцsse und Grenze der matematischen Denkweise... S. 166-167.

[102] Op. cit. S. 168.

[103] См., например, книгу: Вейль Г. Симметрия. М.: Наука, 1968.

[104] Becker О. Grцsse und Grenze der matematischen Denkweise... S. 170-171.

[105] Математика и логика. С. 91 // Вейль Г. Математическое мышление. М., 1989. С. 79-91.

[106] Ценность науки. С. 166 // Пуанкаре А. О науке. М., 1983. С. 153-282.

[107] Цит. соч. С. 167.

[108] Цит. соч. С. 169.

[109] Наука и метод. С. 313 // Пуанкаре А. О науке. М., 1983. С. 283-404.

[110] Цит. соч. С. 316.

[111] Там же.

[112] См. С. 19.

[113] Наука и метод...С. 317-318.

[114] В частности, свидетельств значимости эстетических критериев для математики и математического естествознания накоплено огромное множество. См., например, статью: Гейзенберг В. Значение красоты в точной науке // Гейзенберг В. Шаги за горизонт. М., 1987. С. 268-282.

[115] “Легкая плоть” и “Тяжелая плоть”, говорил А.Блок.

[116] См. мою книгу: Катасонов В.Н. Метафизическая математика XVII века. Гл. I.

[117] О необходимости и возможности новых начал для философии. С. 319 // Киреевский И.В. Критика и эстетика. М., 1979. С. 293-332.

[118] Цит. соч. С. 318.

[119] Философские начала цельного знания. С. 229 // Соловьев B.C. Сочинения в двух томах. Т. 2. Философское наследие. М., 1988. С. 139-288.

[120] Цит. соч. С. 229-230.

[121] Цит. соч. С. 230.

[122] Проф. прот. В.Зеньковский. Основы христианской философии. М., 1992. С. 59.

[123] См., в частности, книгу: Ахутин А.В. История принципов физического эксперимента. От античности до XVII века. М., Наука. 1976.

[124] См., например, статьи: П.П.Гайденко. Христианство и генезис новоевропейского естествознания; В.Н.Катасонов. Интеллектуализм и волюнтаризм: религиозно-философский горизонт науки нового времени // Философско-религиозные истоки науки. М., 1997. С. 44-87; 142-177.

[125] См. например, статью: S.McFague. Models of God for an Ecological, Evolutionary Era: God as Mother of the Universe // Physics, philosophy, and theology: a common quest for understanding. Notre-Dame, 1988. P. 249-272.

[126] См., например, книгу: Сарrа F. Wendezeit. Bausteine fьr ein neues Weitbild. Bern und Munchen. Knaur. 1988. А также другие работы этого автора по философии науки.

[127] Проф. прот. В.Зеньковский. Основы христианской философии. С. 29-30.

[128] Цит. соч. С. 58.

[129] Коринф. XXII, 8-10.

[130] Таким суждением, согласно Пуанкаре, является, в частности, аксиома полной математической индукции.